крест и радуга

SO(3)-структура на сферизации касательных расслоений трёхмерных многообразий
SO(3)-структура на пятимерном пространстве есть отождествление его с пространством симметрических эндоморфизмов с нулевым следон на неком трёхмерном евклидовом пространстве. Она определяется симметрической 3-формой -- следом произведения трёх эндоморфизмов. Как нас учат Агрикола, Беккер-Бендер и Фридрих (со святыми упокой!), полем SO(3)-структур на многообразии связывается евклидово расслоение ранга три, из которого касательное расслоение к SO(3)-многообразию получается как расслоение тензоров со следом нуль в его симметрическом квадрате.

Подобием 'лагранжева расслоения' на пятимерном SO(3)-многообразии могло бы служить расслоение над трёхмерной базой такое, что оным характеристическим расслоением служил бы откат касательного расслоения базы. У меня всегда имелось чувство -- то ли потому что я вычитал это из работ Нуровского про летающие тарелки, то ли ещё откуда-то, не помню откуда -- что SO(3)-структура должна существовать на тотальных пространствах единичных касательных расслоений к трёхмерным римановым многообразиям специальной геометрии.

Будем обозначать единичную сферу в евклидовом пространстве E за UE, и пусть X -- трёхмерное риманово многообразие, а M = UTX -- сферизация. Для вектора u \in UT_x хотелось бы построить действие векторов из T_u(M) на T_x(X). Проще всего определить результат применения вертикальных векторов из T_u(UT_x(X)) \subset T_u(M) к самому вектору u. В самом деле, касательное пространство к единичной сфере есть канонически Hom(u, u^\perp); результат применения соответствующего гомоморфизма к u и естественно считать результатом того самого вычисления.

Я уже как-то писал о том, как устроено разложение пятимерного SO(3)-пространства, если зафиксировано разложение трёхмерного пространства, из которого оно произведено, в сумму перпендикулярных прямой и плоскости. Если выбрать ортонормальный базис e_0, e_1, e_2, в котором прямая будет натянута на вектор e_0, то операторы разложатся в матрицы вида

0 a b a 0 0 b 0 0,

2c 0 0 0 -c 0 0 0 -c,

и

0 0 0 0 x y 0 y -x.

Это, по всей видимости, разложение нашего пространства на неприводимые представления группы SO(2) \subset SO(3), сохраняющей наше расщепление. Но я далёк от теории представлений, так что не стану говорить о том, чего не знаю и знать никогда не смогу. Итак, операторы, которыми действуют вертикальные вектора, немного напоминают операторы первого класса -- кстати, на плоскость таких операторов 3-форма ограничивается тождественным нулём, что также напоминает о лагранжевости. Тем самым, логично доопределить это действие на u^\perp тождественным нулём.

Теперь нужно определить, как действуют горизонтальные вектора. Говоря 'горизонтальные', я пользуюсь разложением TM при помощи связности Леви-Чивиты, что, вообще говоря, может быть неадекватным задаче. Но я не пишу статью, а фиксирую мысли. Возможно, в естественной общности нужно рассматривать некую метрическую связность вообще говоря с кручением. Итак, горизонтальные вектора таже естественно разлагаются в сумму векторов, направляющих геодезический поток, и перпендикулярных к ним векторов. Очевидно, геодезические вектора должны действовать оператором второго класса; то есть на самом векторе u действовать растяжением в 2\kappa раз, а на его ортогональном дополнении -- растяжением в -\kappa раз. Выбирать точное значение \kappa сейчас было бы произволом.

Осталось понять, как действовать горизонтальными подъёмами векторов, перпендикулярных u. Оставшиеся нам операторы обнуляют u, а на ортогональном дополнении к нему действуют как композиция гомотетии (с коэффициентом \lambda, который мы пока подбирать постесняемся) и отражения относительно какого-то вектора (тоже в общем-то непонятно какого из них всех). Условимся считать для простоты, что оператор, сопоставленный вектору v \in \widetilde{u^\perp} \subset Hor \subset T_u(M), действует на v растяжением в \lambda раз, а на его общем с u перпендикуляре -- растяжением в -\lambda раз. Замечу, что это всё равно произвол, и, возможно, скрывающий истину.

Итак, мы построили даже не одну почти SO(3)-структуру, а как минимум двухпараметрическое семейство. Однако около-интегрируемость каких-либо из этих структур -- то есть существование связности, относительно которых она параллельна, со вполне кососимметрическим кручением -- мне совершенно неочевидна. Неясно также, какие из них согласованы с саскиевой метрикой на единичном касательном расслоении (это вычислить просто, но не хочется. Я вообще есть хочу). Замечу вместо этого, что у нас имеется выделенное векторное поле -- а именно, дифференциал геодезического потока. Обозначим его s. Его можно подставить в форму \Psi любое число раз от нуля до трёх, и получить при этом более знакомые формы. Не буду расписывать сам процесс -- это в основном умножение матриц 3-на-3; А результаты его такие.

\Psi(s,s,s) = 6\kappa^3.

\Psi(s,s,-) есть 1-форма, ядро которой -- стандартное контактное распределение на сферизации кокасательного расслоения.

\Psi(s,-,-) есть симметрическая 2-форма. С учётом вышесказанного, достаточно определить её на контактном распределении. Вертикальное и горизонтальное подрасслоение относительно неё перпендикулярны. На вертикальное подрасслоение она ограничивается как \kappa g, где g -- сасакиева метрика. На пересечение горизонтального подрасслоения с контактным она ограничивается как -2\kappa\lambda^2 g.

Таким образом, если я поляризацией переведу 3-форму \Psi в оператор TM \to End(TM), то оператор, в который переводится геодезическое поле, сохрахяет контактное распределение, а геодезическое поле растягивает в 6\kappa^3 раз. Учитывая, что метрика реконструируется по 3-форме как \Psi_w^2(w) = g(w,w)w, то для w = s имеем 36\kappa^6 s = s, откуда, чтобы обратно восстановилась именно сасакиева метрика, необходимо \kappa = \pm \sqrt[3]{6}. Выписывать \Psi_w для контактных векторов w мне лень; довольно ясно, что ни для каких значений \lambda нельзя ожидать, что восстановившаяся метрика будет сасакиевой. Не очень понятно, хорошо это или плохо.

Current Mood: hungry
Current Music: Егор Летов -- Психоделический камешек