Пусть
E \to X -- расслоение с плоской связностью
D с ковариантно постоянным скалярным произведением. Если имеется евклидово расслоение
F \to X с ортогональной, но не обязательно плоской связностью
\nabla, то её можно реализовать при помощи отображения
\alpha \colon F \to E, которое является изометрией на образ, как
\nabla_us = \pi(D_u\alpha(s)), где
\pi -- ортогональная проекция на образ
\alpha, если ранг
E достаточно велик. Не знаю, как доказывать это утверждение, и хотя бы верно ли оно; для случая, когда многообразие
X компактно,
F -- его касательное расслоение, а
\nabla есть связность Леви-Чивиты, это утверждение следует из теоремы Нэша о вложении. Мы, однако, ищем не вложения в евклидово пространство, а лишь отображения расслоений; быть может, этот результат можно доказать совсем элементарно.
Для связностей в касательном расслоении, реализованных таким образом, тензор кручения очень просто описать. Именно, в таком разе
\alpha можно воспринять как дифференциальную форму с коэффициентами в сечениях
E, и плоская связность
D позволяет распространить дифференциал де Рама на такие формы. Тогда кручение есть просто проекция
\pi(d\alpha). Это, разумеется, следует из стандартного определения кручения как дифференциала от тождественного оператора, рассмотренного как 1-форма с коэффициентами в векторных полях. Но в таком виде это позволяет понять, что всё, что я
написал (pdf, 204 kB), к сожалению, не может быть верно.
Вообще очень обидно, что придумываются только тавтологии.
Current Music: Игорь Молотов -- Как мы строили будущее России