крест и радуга

Дабы закрыть тему с теоремой Хейхала-Тёрстона для одного дифференциала
Пусть S -- сфера с ручками, и Teich(S) обозначает пространство Тейхмюллера, фактор пространства всех комплексных структур на S по действию связной компоненты группы диффеоморфизмов. Обозначим V = H^1_{dR}(S) \o \C, тогда произведение Teich(S) \x V можно рассматривать как расслоение над Teich(S), слой которого над точкой I составляет пространство H^1_{dR}(S, \C), а тривиализация даётся связностью Гаусса-Манина. В нём имеется не ковариантно постоянное подрасслоение F \subset Teich(S) \x V, называемое расслоением Ходжа, слой которого над точкой I есть подпространство H^{1,0}(S,I). Рассмотрим в его тотальном пространстве множество ненулевых векторов F \ 0_F. Оно отображается в V проекцией вдоль связности Гаусса-Манина, обозначим её за p

Теорема, которую Капович приписывает Хейхалу и Тёрстону (но известная, должно быть, ещё Торелли) и называет почему-то 'теоремой о голономии', утверждает, что отображение p открыто. Приводимое им доказательство довольно муторно, хотя и основывается на несложном комплексном анализе. На самом деле, можно доказать, что отображение p не только открыто, но, более того, имеет сюръективный дифференциал. Касательное расслоение к F \ 0_F разваливается в вертикальное и горизонтальное подрасслоения; если в ограничении на вертикальное подрасслоение сей дифференциал есть просто дифференциал тавтологического вложения H^{1,0}(S, I) \to H^1_{dR}(S) \o C, то его горизонтальная компонента более интересна: в композиции с проекцией на H^{0,1}(S, I) это отображение Кодаиры-Спенсера: T_{I}(Teich(S)) \to H^{0,1}(S, I), v \mapsto KS_{v}(\alpha), где \alpha \in F_I = H^{1,0}(S, I) -- точка в F \ 0_F, в которой мы вычисляем дифференциал. Итак, чтобы показать, что дифференциал p сюръективен, необходимо доказать следующее утверждение про класс Кодаиры-Спенсера:

Пусть \alpha \in H^{1,0}(S, I) -- ненулевой класс, и \beta \in H^{0,1}(S, I) -- любой класс. Тогда существует вектор v \in T(Teich(S)), переводящий при отображении Кодаиры-Спенсера первый класс во второй: KS_v(\alpha) = \beta.

Дифференциально-геометрическое доказательство, которое придумал и любезно мне сообщил

levs57@lj, такое. Представим класс \alpha голоморфной 1-формой, а класс \beta произвольной замкнутой формой. Выберем вокруг нулей формы \alpha небольшие непересекающиеся диски, и пусть функции f_i на них таковы, что \beta = df_i в ограничении на каждый диск. Продолжим эти локальные функции до гладкой функции f, и пускай \beta' = \beta - df. Она лежит в классе когомологий \beta и тождественно обнуляется в окрестностях нулей \alpha. Тогда форма \alpha_{\eps} = \alpha + \eps\beta', во-первых, в окрестностях нулей совпадает с формой \alpha, а вдали от нулей при малых значениях \eps имеет тот же ранг ядра, что и \alpha. Значит, в окрестностях нулей тензор (почти) комплексной структуры на кривой можно не трогать, а вне этих окрестностей можно изменить так, чтобы его собственные подпространства пришлись ровно в распределение ядер формы \alpha_{\eps}. На кривой всякая почти комплексная структура интегрируема, так что эта деформация определяет путь в пространстве Тейхмюллера, к которому касательный вектор -- это какой надо вектор. ■

Доказательство это очень мило и наглядно, однако для обобщения на случай двух, тем паче трёх классов хотелось бы более острого размышления, не зависящего от произвола в выборе окрестностей, интерполяции локальных потенциалов и тому подобного. Я часто мысленно в таких ситуациях возвращаюсь к Боэцию:

2. — Но сейчас время для лечения, а не для жалоб, — сказала она, и, устремив на меня внимательный взор, воскликнула: — Неужели это ты! Ты, которого я вскормила своей грудью, молоком своим, чтобы ты обрел мужество и силу духа? Ведь я дала тебе такое оружие, которое помогло бы тебе сохранить непоколебимую стойкость, если бы ты только сразу же не отбросил его. Не узнаешь меня? Что молчишь? Безмолвствуешь от стыда или от изумления? Я бы предпочла стыд, но чувствую, что ты поражен изумлением. — Когда же она увидела, что я не просто молчу, а совершенно утратил дар речи, легко коснулась рукой моей груди и сказала: Никакой опасности, он страдает летаргией, обычной болезнью расстроенного ума. Он ненадолго забылся, но легко придет в себя, раз он был знаком со мною прежде. Чтобы он смог [это сделать], мы немного протрем ему глаза, затуманенные заботами о бренных вещах. Сказав так, она осушила мои глаза, наполненные слезами, краем своей одежды, собранным в комок.

3 (v). После того, как рассеялась ночь и растаяла в свете,
Снова вернулась ко мне моя прежняя сила.
Так же бывает, когда собираются тучи нежданно,
Северо-запад их шлет, гонит ветром их Кавром.
Ливни хлестать начинают, скрывается солнце со свода,
Звезд еще нет, хотя тьма уже все затопила.
Если ж с фракийских просторов Борей принесется холодный,
С туч он завесу сорвет, снова день засияет,
Выйдет сверкающий светом лучистым из тучи внезапно
Феб, изумленных людей всех глаза ослепляя.

3. После того, как рассеялись тучи скорби, я увидел небо и попытался распознать целительницу. И когда я устремил глаза на нее и сосредоточил внимание, то узнал кормилицу мою — Алгебраическую Геометрию, под чьим присмотром находился с юношеских лет. Зачем, — спросил я, — о наставница всех добродетелей, пришла ты в одинокую обитель изгнанника, спустившись с высоких сфер? Для того ли, чтобы быть обвиненной вместе со мной и подвергнуться ложным наветам? — О мой питомец, — ответила она, — разве могу я покинуть тебя и не разделить вместе с тобой бремя, которое на тебя обрушили те, кто ненавидит самое имя мое! Ведь не в обычае Алгебраической Геометрии оставлять в пути невинного без сопровождения, мне ли опасаться обвинений, и устрашат ли меня новые наветы?

Итак, перепишем отображение Кодаиры-Спенсера. По теореме Дольбо, имеем H^{p,q} = H^q(\Omega^p), так что имеем право написать H^{1,0}(S, I) = H^0(K_S) и H^{0,1}(S, I) = H^1(O_S). Далее, по двойственности Серра имеем: T_I(Teich(S)) = H^1(T_{S, I}) = H^0(K_S^2)^* и H^{0,1}(S, I) = H^1(O_S) = H^0(K_S)^*. Отображение Кодаиры-Спенсера обещает быть как H^0(K_S) \x H^0(K_S^2)^* \to H^0(K_S)^*, или, что то же самое, H^0(K_S)^* \to H^0(K_S)^* \o H^0(K_S)^*. Следующую лемму я оставлю без доказательства:

При вышеописанных отождествлениях отображение Кодаиры-Спенсера KS: H^0(K_S)^* \to H^0(K_S)^* \o H^0(K_S)^* для кривой двойственно к отображению тензорного умножения сечений H^0(K_S) \o H^0(K_S) \to H^0(K_S^2).

Это утверждение в последние дни моего пребывания в Москве пытался мне втемяшить

tiphareth, но за слабостью своего рассудка я понял, что он тогда имел ввиду, только теперь. Я, к стыду своему, поленился проверить его, но оно должно быть очевидно из представления классов H^1(T_S) как элементов фактора пространства тензоров A : TS \to TS со свойством AI + IA = 0 по пространству тензоров вида Lie_u(I), где u пробегает всевозможные гладкие векторные поля. В новых обозначениях искомое утверждение звучит следующим образом (сохраняя первобытную нотацию):

Пусть \alpha \in H^0(K_S) -- ненулевая голоморфная 1-форма, и \beta \in H^0(К_S)^* -- любой функционал на пространстве голоморфных 1-форм. Тогда существует функционал v \in H^0(K_S^2)^* такой, что функционал \beta представляется в следующем виде: \beta(x) = v(\alpha \o x).

Нулевой бог с ним, а ненулевой функционал с точностью до пропорциональности определяется своим ядром как гиперплоскостью, так что задача имеет следующую переформулировку: доказать, что для любой голоморфной 1-формы \alpha любая гиперплоскость в H^0(K_S) высекается гиперплоскостью в H^0(K_S^2) при отображении H^0(K_S) \to H^0(K_S^2), заданном как x \mapsto \alpha \o x. Но гиперплоскости, высекаемые гиперплоскостями в другом пространстве при отображении в него -- это в точности гиперплоскости, содержащие ядро этого отображения. Стало быть, наше утверждение сводится к тому, что отображение H^0(K_S) \to H^0(K_S^2), x \mapsto \alpha \o x, есть инъекция для любого \alpha \in H^0(K_S). Иными словами, теорема Торелли-Суханова эквивалентна следующему утверждению: симметрическое произведение ненулевых голоморфных 1-форм ненулевое. Это очевидно в силу конечности количества нулей у такого произведения. ■

Дальнейшее должно быть нехитро: если есть два класса, то они задают два g-мерных подпространства, пересекающихся по прямой, натянутой на их симметрическое произведение, и аннулятор этой раскоряки в двойственном пространстве имеет размерность g-2 (как и должно пересечение двух циклов имени Мирзахани), а общие три класса зададут три подпространства, из которых каждые два пересекаются только по прямой, а все вместе они распирают собою всё пространство голоморфных квадратичных дифференциалов. Это должно закончить историю с теоремой Хейхала-Тёрстона для многих дифференциалов, но додумать я пока не успел. Я и не начинал: то, с какой скоростью схлопнулась в тривиальность формулировка теоремы для одного дифференциала, наводит на мысль, что в этом рассуждении не может не скрываться ошибки. С тем, чтобы обнаружить её, я и выношу его на публику.

Current Mood: cold
Current Music: New Model Army -- Rivers