Wednesday, October 30th, 2019

Time	Event
2:12p	Ежеосеннее У русского поэта, затворника с Форт-Грин, есть стихи про скромных тружеников -- козлобородых лэндлордов и девочек с бумажными стаканчиками, выгуливающих больших собак нараспашку по весенним лужам. Холод -- плюс пять по стоградусной шкале! -- залезает им под куртки, но они не застёгиваются, своим несвоевременным видом как бы приближая наступление лета. Их кинологические и самокатные роты идут врассыпную к Форт-Грину, большой белой грудью на позиции матушки-зимы, и она стекает стекольными ручьями из своих окопов и оков. Наверное, эти песни надудели поэту в открытое октно местные гении с вершины -- замордованные в Форт-Грине британцами солдаты Континентальной армии, босые, в одних рваных рубашках, походящих более на флаг Эдварда Тича, чем Короля Франции, как на картине 'Янки-дудль, или Дух 1776 года', отморозившие ноги в Вэлли-Фордж, но переломившие теплотой своего дыхания и быстрым окислением пороха лёд британского скипетра. Других новобранцев хотел воспеть бы я -- революционные бушлаты с красными кокардами Петрограда, шинели времён императора Павла Великого, гарлемские шубы и золотые цепи гомофобии, громадные кубы собольих шапок и долгополые кафтаны в последних лучах пятничного солнца на Ли-авеню. Радуйся! выжившая из ума богомолка, в жару -- плюсь шестьдесят по Фаренгейту! -- стоящая в зимнем пальто окола памятника папе Яну Павлу II. Пусть твои молитвы поскорее достигнут белёсого неба, которому, как шестнадцатилетней призёрке Всероссийской олимпиады, давно уже не терпится обвалиться белыми клоками и покрыть собою твоего святого Антония: под якутскими ватниками твоих отцов и любовников, под твоей шалью из козлиной шерсти, нащипанной около Тоцкого полигона, потух вечный огонь и остыли печи Холокоста. Хотел бы воспеть я -- но как могу? Лучше и полезнее мне самому выйти из твоего дома, надев на себя побольше шарфов и шапок, и в поте лица своего упереться своим лишним существованием в ту же нематериальную точку, куда вознесено твоё сердце. Current Mood: sleepy Current Music: бухенвальд флава -- отходосень (3 Comments | Comment on this)
3:02p	Теорема Хейхала-Тёрстона для нескольких дифференциалов и теорема Менелая Итак, в предыдущей серии мы заметили, что для ненулевой голоморфной 1-формы \alpha отображение j_{\alpha} : H^0(K_S) \to H^0(K_S^2), заданное как x \mapsto \alpha \o x, инъективно. Имея функционал на подпространстве, мы можем продолжить его наружу абы как, и получить тем самым искомый касательный вектор к пространству Тейхмюллера. Теперь нам нужно заметить, что для двух ненулевых голоморфных 1-форм без общих нулей \alpha, \beta подпространства im(j_{\alpha}) и im(j_{\beta} пересекаются ровно по одной прямой span{\alpha \o \beta}. Это неудивительнo: ненулевой голоморфный квадратичный дифференциал с точностью до пропорциональности определяется своими 2g-2 нулями, где g -- род кривой. Если он имеет по g-1 нулей от \alpha и от \beta, то ничем иным, кроме скалярного множителя их произведения, он быть не может. Итак, имеется два функционала на подпространствах, пересекающихся по прямой. Чтобы они были ограничениями функционала на их линейной оболочке, необходимо и достаточно, чтобы значения функционалов совпадали на прямой, по мкоторой они пересекаются. Иными словами, если наши функционалы были \eta и \theta, нам хотелось бы, чтобы имело место равенство \eta \wedge \beta = \theta \wedge \alpha. Переписывая его в виде \eta \wedge \beta + \alpha \wedge \theta = 0, имеем в точности условие касания вектора к изотропному грассманиану. Ну а с линейной оболочки до касательного вектора к пространству Тейхмюллера он уже продолжится. Сложнее с тремя дифференциалами: образы отображений j_{\alpha}, j_{\beta}, j_{\gamma} будут тремя g-мерными подпространствами в (3g-3)-мерном, из которых каждые два пересекаются по прямой, притом эти три прямые не совпадают (кажется, это тоже очевидно). Если на каждом из них задано по функционалу, то каждый из них имеет ядро размерности g-1, и их линейной оболочкой будет, вообще говоря, всё пространство. Нас однако спасает условие согласования на пересечениях: несложная линейно-алгебраическая выкладка (которую я пока что не проделал, но которую вместе с тем все проделывают в школе) показывает, что оно гарантирует, что эти три ядра попадут в одно подпространство коразмерности хотя бы (а скорее всего в точности) один. Для g = 2 это хорошо известно: в проективизации подпространства im(j_{\alpha}), im(j_{\beta}), im(j_{\gamma} высекут три прямые, ядра функционалов, которые мы хотели реализовать, суть три точки на этих прямых, а условие согласования обращается в теорему Менелая. В большей размерности, однако, тут ещё есть некоторое затруднение, связанное с тем, что у кривых рода три можно брать разветвлённые накрытия; обратные образы трёх голоморфных форм на ней суть те тройки, на которых теорема Хейхала-Тёрстона нарушается (по крайней мере по словам Богомолова); при строгом записывании того, как именно работает такая многомерная теорема Менелая оно несомненно вскроется. Но для двух, слава богу, всё тьфу-тьфу-тьфу. Current Mood: awake (2 Comments | Comment on this)

<< Previous Day

2019/10/30 [Calendar]

Next Day >>