Кривизна пространств Карно-Каратеодори В Новосибирске довелось слушать доклад какого-то неизвестного мне человека, забыл к сожалению имя, в котором он пытался метрически, а-ля Громов, определить кривизну пространств Карно-Каратеодори, во всяком случае глубины два, сравнивая их с соответственными группами Карно (или, говоря по-простому, Гейзенберга). Но из его конструкции, как заметил проф. Локуциевский, как-то выходило, что кривизна не зависит от метрики, а только от самого распределения, что в силу теоремы Дарбу-Грея означает, что кривизна эта всегда нулевая. Не знаю, какой вывод из этого можно сделать.
А что вообще значит слово 'соответственными' в абзаце, который я выше написал? Он отсылает к
теореме Митчелла, утверждающей следующее. Пусть есть равнорегулярное пространство Карно-Каратеодори (то есть такое, что степени горизонтального распределения относительно скобки Ли являются не просто подпучками, а подрасслоениями). Тогда для любой его точки существует группа Карно (группа Ли градуированной нильпотентной алгебры Ли с лево-инвариантной метрикой Карно-Каратеодори, горизонтальным подпространством которого является первая градуировочная компонента), квазиизометричная громовскому касательному конусу в этой точке. Более того, по теореме Пансю-Водопьянова, две квазиизометричные группы Карно метрически изоморфны, так что такая группа вдобавок и единственна.
Для случая риманова многообразия это означает попросту, что в нулевом приближении риманово многообразие есть евклидово пространство -- касательное пространство в той точке, в которой мы приближаем. Касательные вектора можно складывать; а можно ли соорудить аналогичную операцию, но некоммутативную, при помощи теоремы Митчелла? Ведь касательные вектора к пространству Карно-Каратеодори складывать никто не запрещает, для этого метрика не нужна; было бы две операции на векторных полях, авось-либо в хозяйстве сгодится. Иными словами: можно ли сделать теорему Митчелла функториальной?
Нельзя, и по следующей очевидной причине: в касательном пространстве к пространству Карно-Каратеодори имеется выделенное подпространство: горизонтальное. В группе же Карно никакого выделенного подпространства не имеется. Например, если многообразие было контактное, это бы означало, что в каждой алгебре Гейзенберга есть выделенный набор образующих. С другой стороны, в алгебре Гейзенберга есть выделенное одномерное подпространство: коммутант. Функториальность в теореме Митчелла означала бы, что на всяком контактном многообразии есть канонически определённое векторное поле, трансверсальное к горизонтальному распределению. Но оно было бы полем Реба, а оно зависит от выбора интегрирующего множителя.
Не знаю, как в случае пространств Карно-Каратеодори большой глубины, а для контактных многообразий я вижу только одно объяснение: что на самом деле теорему Митчелла можно сделать канонической, но не для касательного, а для кокасательного расслоения, и тогда ковекторные поля, обращающиеся в нуль на горизонтальном подпространстве, будут отображаться в сечения коммутанта расслоения групп Гейзенберга. Это бы означало, что на равнорегулярном пространстве Карно-Каратеодори имеется следующий дифференциальный оператор: возьмём 1-форму, от неё дифференциал, а дифференциал, как сечение внешнего квадрата, прокоммутируем, пользуясь коммутатором в группе Гейзенберга. Получится (априори нелинейное) отображение из 1-форм в 1-формы с горизонтальным ядром. Для групп Карно эта штука будет лево-инвариантная и наверняка нулевая, а для общих пространств Карно-Каратеодори может в принципе что-то да получиться. Будет такая типа векторнозначная кривизна. К римановой кривизне она, впрочем, никакого отношения не имеет: на римановых многообразиях она равняется нулю в силу правила параллелограмма, то есть коммутативности евклидовых пространств как групп (Карно).
Current Music: Daniel Kahn - Bulat Blues