крест и радуга

Геометрия четырёхмерной сферы
Я когда-то писал про SO(3)-структуры в линейной алгебре. Именно, симметрический квадрат котавтологического представления SO(3) содержит инвариантный вектор -- собственно, скалярное произведение -- а ортогональное дополнение к нему есть неприводимое представление. Оно же есть пространство симметричных бесследных матриц на \R^3. Оно снабжено симметричным 3-тензором \Psi(A,B,C) = \Tr(ABC). Рассмотрим в нём единичную сферу, а на ней кубическую функцию f(v) = \Psi(v,v,v). Она принимает в противоположных точках противоположные значения и SO(3)-инвариантна. Может ли она быть тождественным нулём? Рассмотрим единичный вектор v с f(v) = 0, представляющий оператор A. Симметричная матрица диагонализуема, так что у него имеются собственные числа -- a_1, a_2 и a_3, притом a_3 = -(a_1+a_2). Имеем 0 = f(v) = \Tr(A^3) = a_1^3 + a_2^3 + a_3^2 = a_1^3 + a_2^3 - (a_1+a_2)^3 = -3a_1a_2(a_1+a_2) = 3a_1a_2a_3. Таким образом, вектора с f(v) = 0 суть в точности симметричные бесследные матрицы неполного ранга. В частности, линейная оболочка нулевого уровня f есть всё пятимерное пространство (иными словами, его пересечение с единичной сферой выглядит как белая полоска на теннисном мячике), а всякое максимальное подпространство, на которое функция f ограничивается нулём, состоит из самосопряжённых бесследных операторов с одним и тем же ядром.

Стало быть, функция f принимает на сфере максимум и минимум (в антиподальных точках), а её поверхности уровня суть однородные пространства для группы SO(3). Поскольку эта группа связна, это значит, что максимум достигается в связном подмногообразии. Оно не может быть трёхмерным, поскольку в таком случае эйлерова характеристика S^4 равнялась бы нулю. С другой стороны, оно не может быть и двумерной сферой SO(3)/SO(2), поскольку тогда эйлерова характеристика S^4 равнялась бы четырём. Одной точкой оно также быть не может: это бы давало одномерное подпредставление в неприводимом представлении SO(3). Стало быть, это подмногообразие есть \RP^2?? Вроде ничему не противоречит, но выглядит дико.

Кроме того, сфера S^4 является базой расслоения на прямые на CP^3, горизонтальные голоморфные сечения которого проецируются в суперминимальные поверхности. Наверняка это слоение на S^4 тут при чём-то.

Current Mood: cold
Current Music: A.L.Lokshin (1920 - 1987), Suite for Bass and Wind Band