крест и радуга

Голоморфная теорема Дарбу-Вайнштейна и отображение Абеля-Якоби
Голоморфный аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна (если его сформулировать как обычную теорему Дарбу, но перед словом 'симплектический' везде вставить 'голоморфно') обыкновенно неверен по банальной причине: графики голоморфных 1-форм с одной стороны биголоморфны базе, а с другой соответствуют лагранжевым деформациям лагранжева подмногообразия, и для того, чтобы такая теорема Дарбу-Вайнштейна могла быть выполнена, все такие деформации должны также быть биголоморфны самому лагранжеву подмногообразию -- чего обыкновенно не имеет места. Однако есть занятный случай, в котором такое рассуждение невозможно: в случае кривой рода два, лежащей на своей якобиевой поверхности. В самом деле, голоморфных 1-форм двумерное семейство, и деформаций кривой тоже двумерное семейство, и исчерпываются они сдвигами. Соответственно, можно задаться вопросом: существует ли локальное голоморфное отображение T^*C \to Jac(C), в ограничение на нулевое сечение равное отображению Абеля-Якоби? И если существует, может ли оно быть сделано глобальным?

На самом деле, такого отображения быть не может, хотя и по иной причине. Именно, пусть v -- какой-то небольшой, но ненулевой сдвиг на якобиевой поверхности. Тогда v(C) -- образ графика некоторой 1-формы при гипотетическом отображении Абеля-Якоби. Назовём эту форму \alpha_v. Построим голоморфное отображение C \to C следующим образом: отправим x \in C \subset Jac(C) сперва в v(x) \in v(C) = \Gamma(\alpha_v), а затем спроецируем v(x) как точку графика 1-формы на базу как обычно. Получится некоторое малое голоморфное шевеление C; по теореме Гурвица оно должно быть постоянным. Стало быть, точки пересечения C и v(C) -- нули 1-формы \alpha_v -- отображаются сдвигом в себя же. Но это значит, что v = 0, что противоречит исходному предположению.

Более тонкий вопрос -- на формальную окрестность какого порядка может быть продолжено отображение Абеля-Якоби. Кажется, алгебраизовав это рассуждение, можно доказать, что ни на какую.

Current Mood: hungry
Current Music: Хадн Дадн -- Мы сегодня дома