крест и радуга

Координаты относительных периодов для пары дифференциалов
Пусть \alpha -- голоморфная 1-форма на кривой. Она определяет гомоморфизм пучков T \to \O, коядром которого является структурный пучок \O_Z нулевого локуса этой 1-формы. Точная последовательность когомологий читается:

0 \to H^0(\O) \to H^0(\O_Z) \to H^1(T) \to H^1(\O) \to 0

причём последняя стрелка, если её записать при помощи двойственности Серра как стрелку H^0(K^2)^* \to H^0(K)^*, будет просто отображением, двойственным к умножению на нашу 1-форму. Соответственно, ядро этого отображения -- касательное пространство к изопериодической деформации, сохраняющей её. Оно получается как фактор H^0(\O_Z) по константам. Это хорошо известная лемма в математической физике:

Предложение. Пусть \alpha -- абелев дифференциал на римановой поверхности, и z_0, ... z_{2g-3} -- его нули. Тогда набор функций \int_{z_0}^{z_i}\alpha (т. н. 'относительные периоды') -- локальные координаты на листе изопериодического слоения.

Пусть теперь \alpha, \beta -- две голоморфных 1-формы на кривой. Они определяют гомоморфизм пучков T \to \O + \O, коядром которого является некоторый пучок L. Если формы не имеют общих нулей, это линейное расслоение, изоморфное кокасательному. Вообще говоря его ранг подскакивает в общих нулях. Точная последовательность когомологий читается:

0 \to H^0(\O) + H^0(\O) \to H^0(L) \to H^1(T) \to H^1(\O) + H^1(\O) \to H^1(L) \to 0.

Вычисляя отсюда эйлерову характеристику, имеем h^0(L) = h^1(L) - 1 + g. Кажется, можно доказать следующее утверждение: H^1(L) канонически изоморфно пространству квадратичных дифференциалов, делящихся как на \alpha, так и на \beta (или может быть его двойственному). Соответственно, паразитические сечения у L возникают только тогда, когда формы \alpha и \beta зацеплены.

Интересно понять, как устроен связывающий гомоморфизм H^0(L) \to H^1(T), особенно в случае, когда общих нулей нет и L = K. Этот гомоморфизм не получается, разумеется, из тензорных операций на расслоениях; как всегда это бывает со связывающим гомоморфизмом, он выражается через вычет или интегрирование (подобно как в вышеприведённой лемме для одного дифференциала). Но час уже поздний, сообразить не могу, да и режим я себе что-то опять сбил.

Current Mood: sick
Current Music: Мартиэль -- Сойти с чужого ума