крест и радуга

Задачка про матрицы (к предыдущему)
Задача такая: дана решётка Z^{2g}, и в ней две полные подрешётки U, V ранга два, обе с определителем d. Доказать, что существует матрица A \in Sp(2g, Z) такая, что gU = V.

В вещественном случае доказательство бы следовало из транзитивности на базисах. Однако в целочисленном случае ничего подобного ожидать нельзя! Скажем, рассмотрим Z^2 с базисом e, f, (e, f) = 1. Тогда базис {e, e + 3f} не может быть переведён в {e, 2e+3f}, несмотря на то что их определители равны: если e остаётся на месте, то f может перейти только в f + ne, а 3f + e соответственно только в 3f + (3n+1)e. Однако порождённые этими базисами подрешётки, конечно, одни и те же.

Заметим же, что, коль скоро симплектические матрицы действуют транзитивно на неделимых векторах, мы можем ограничиться рассмотрением только подрешёток, порождённых базисным вектором e_0 и ещё каким-то вектором, который умножается на e_0 числом d (и является неделимым по модулю e_0, поскольку порождаемая подрешётка полная). Всякий такой вектор имеет вид df_0 + u, где u \in e_0^\perp. Нам хочется, стало быть, для любых двух векторов u, v \in e_0^\perp, неделимых по модулю e_0, подыскать такую симплектическую матрицу A, что Ae_0 = e_0 и A(df_0 + u) = df_0 + v + ke_0 для какого-то числа k. Заметим, что Af_0 = f_0 + x, где x \in e_0^\perp. Итого мы хотим добиться равенства dx + Au = v + ke_0. Это уравнение на вектора из e_0^\perp; симплектическая решётка e_0^\perp mod e_0 является стандартной, а стабилизатор e_0 действует на ней всей симплектической группой, и в ней уравнение сводится к d[x] + A[u] = [v]. Заметим однако, что полнота подрешёток U и V влечёт неделимость векторов [u] и [v], так что это уравнение имеет решение для [x] = 0 (в силу чего никаких осложнений с поднятием A до элемента Sp(2g, Z), связанных с необходимостью блюсти ортогональность Af_0 векторам из e_0^\perp не возникает).

Это, вкупе с предыдущим постом, доподлинно завершает доказательство теоремы Каповича для эллиптических классов. Слава Богу за всё!

Current Mood: happy
Current Music: Полки нового строя -- Ламарк