крест и радуга

Кривые родов два и три на абелевых поверхностях
Топологически пространство Тейхмюллера есть шар; и верхняя полуплоскость Зигеля тоже стягиваема. В случае рода два, когда они одинаковой размерности, поучительно посмотреть, как один из этих шаров отображается в другой. А именно, действие группы классов отображений MCG(2) на пространстве Тейхмюллера переходит в действие группы Sp(4, Z) на верхнем полупространстве Зигеля. Соответствующее отображение групп MCG(2) \to Sp(4, Z) это действие на когомологиях, оно же факторизация по одному из членов одного из центральных рядов (кажется, второму верхнего). То есть его ядро (и соответственно группа монодромии накрытия из Teich(2) в свой образ в Sieg(2)) есть группа классов отображений, действующих на гомологиях тождественно; иными словами, скручивания Дена вдоль гомологически тривиальных циклов. Если отображение Торелли Teich(2) \to Sieg(2) выпускает точку z, и граница диска с центром в z есть петля, обход вдоль которой действует скручиванием Дена вдоль некоторого цикла, то универсальное семейство кривых рода два над этим диском, проколотым в z, допускает центральный слой, в котором этот цикл будет исчезающим. Но этот цикл гомологически примитивен; в случае кривой рода два это означает, что центральный слой вырождается в две эллиптические кривые, склеенные в одной точке. Соответственно, якобиева поверхность при стремлении к z вырождается в произведение двух эллиптических кривых. Мы это и так хорошо знаем: всякая главно поляризованная абелева поверхность есть либо якобиева поверхность кривой рода два, либо произведение двух эллиптических кривых.

Отсюда легко видеть, что никакого глобального действия Sp(4, R) на пространстве Тейхмюллера, ни на какой его компактификации, даже для рода два определить невозможно. Локальное действие же алгебры Ли sp(4, R) отсюда определить очень просто, хотя оно и будет убегать на бесконечность за конечное время. Казалось бы, никакого способа определить его в произвольной ситуации для пар нету. И всё же в простейшей нетривиальной ситуации я могу определить его ад-хок.

Именно, рассмотрим гладкую кривую C рода три, лежащую на абелевой поверхности A^2. Ядро отображения Jac(C) \to A^2 есть эллиптическая кривая E = E(C, A); Барт заметил, что двойственное отображение Pic^0(C) \to E ограничивается на образ кривой C \subset Pic^0(C) как двойное накрытие. Обратно, всякая кривая рода три, двулистно накрывающая эллиптическую кривую, отображается инъективно в фактор Pic^0/E.

Кривая рода три на абелевой поверхности допускает однопараметрическое семейство деформаций, и локальным параметром для него будет являться j-инвариант эллиптической кривой E. Обратно, если есть двойное накрытие эллиптической кривой, ветвящееся в четырёх точках, вариация этой четвёрки (по модулю сдвигов) результирует в вариации не только накрытия, но и абелевой поверхности, в которую оно вкладывается. Значит, мы можем объявить локальными орбитами sp(4, R)-действия те локусы в послойном грассманиане Gr(2, H^{1,0}Teich(3)), которые получаются из зафиксированной эллиптической кривой на её всевозможных двойных накрытиях, разветвлённых в четырёх точках, ограничением двух форм с фактора Pic^0/E. Зачем -- ума не приложу.

Current Mood: calm
Current Music: Апрельский марш -- Котлован