крест и радуга

Оператор Дольбо и подынтегральное выражение Вильмора
Оператор Дольбо голоморфного расслоения получается из-за того, что локальные тривиализации (ростки плоских связностей) можно конечно выбирать по-разному, но их антиголоморфная часть будет всегда получаться одна и та же, потому что функции переклейки голоморфны. Оказывается, нечто подобное возникает и в твисторах Лебрюна.

Напомню, что если X -- трёхмерное риманово многообразие, то на стандартном контактном распределении в расслоении единичных сфер в его кокасательном расслоении возникает оператор почти комплексной структуры: по вертикали он как на сфере, а по горизонтали он как на ориентированной плоскости с конформной структурой. Для того, чтобы придать смысл слову 'горизонталь', нужно сделать выбор метрики (тогда горизонтальное подпространство выбирается как горизонтальное подпространство связности Леви-Чивиты), но вычислением можно убедиться, что получающаяся комплексная структура зависит только от конформного класса. Будем смотреть на X как на конформное многообразие, тогда ST^*X с такой КР-структурой называется твисторами Лебрюна.

Пусть теперь S \subset X -- коориентированная поверхность (конформная, в частности, риманова). Она поднимается в твисторы Лебрюна гауссовым отображением s \mapsto T_sS. Это отображение горизонтально, но, вообще говоря, не голоморфно. Если выбрана метрика, а значит связность, касательное пространство к образу гауссова отображения можно задать графиком отображения T_sS \to T_{T_sS}(ST^*_sX) (где T_sS мы воспринимаем как горизонтальное подпространство). Это отображение является компонентой сечения проекции T_{T_sS}(ST^*X) \to T_sS, которая голоморфна. Стало быть, антиголоморфная часть этого отображения, T^{1,0}_sS \to T^{0,1}_{T_sS}(ST^*X) имеет вертикальный образ, который не зависит от выбора расщепления (то есть связности, то есть метрики). Вертикальное пространство это касательное пространтво к сферизации кокасательного, то есть Hom(T_sS, T_sX/T_sS). Значит, конформно-инвариантная антилинейная часть гауссова отображения есть форма вида Hom(T^{1,0} \o T^{0,1}, \nu(X/S)).

И если обратно выбрать метрику, то это получится просто (1,1)-форма на кривой. И её можно тогда написать: в самом деле, отображение T_sS \to T_{T_sS}(ST^*_sX) это просто вторая квадратичная форма поверхности, антилинейная часть её имеет собственные числа (k_1 - k_2)/2 и (k_2 - k_1)/2, где k_i -- главные кривизны, так что 2-форма пишется как (K-H^2)\vol_{g|_S}, где H = (k_1+k_2)/2 -- средняя кривизна, а K = k_1k_2 -- гауссова кривизна. Эта 2-форма называется подынтегральным выражением Вильмора, а её интеграл -- энергией Вильмора. Для поверхностей в S^3 это хорошо известно; а связи с твисторами Лебрюна, равно как и конформной инвариантности в общем случае, кажется никто не замечал.

Current Mood: sleepy
Current Music: Полки нового строя -- От Капотни до Строгина