Шифферовские вариации Пусть
S риманова поверхность, и
\gamma \subset S простой контур, ограничивающий диск. Если
f \in Diff(\gamma) сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, будем обозначать за
S_f результат склейки внутренности и внешности
\gamma по диффеоморфизму
f. Если
f был вещественно-аналитическим, то и на внутренность и на внешность его можно аналитически продолжить до голоморфного отображения воротников, и таким образом ввести на
S_f естественную структуру римановой поверхности. Приближая всякие диффеоморфизмы аналитическими, и учитывая, что
S_f = S в случае, когда
f -- мёбиусово преобразование (граничное значение голоморфного автоморфизма диска), можно таким образом построить отображение
Diff/Moeb --> Teich(S). На факторе
Diff/Moeb имеется комплексная структура имени Кириллова-Юрьева: касательное пространство к
Diff это алгебра векторных полей на окружности; (1,0)-подпространство этой комплексной структуры это поля, у которых из ненулевых гармоник Фурье есть только те, что с положительными номерами (алгебра Ли
moeb при этом сосредоточена на гармониках
-1, 0, 1, так что в факторе гармоники с положительными номерами составляют в точности половину). Давайте проверим, что это отображение голоморфно.
Как это сделать? Надо написать явным образом дифференциал
diff(S^1) \to H^0(K^2)^*. Если
\xi -- векторное поле на
\gamma, чему может равняться значение соответствующего оператора на квадратичном дифференциале
q? Из соображений теории размерности ответ один: надо сделать подстановку
\iota_\xi q и проинтегрировать получившуюся 1-форму по
\gamma. Можно понять из соображений коциклов Чеха, что это правильный ответ.
Давайте напишем это в координатах. Выберем в диске, ограниченном
\gamma, точку
x, это задаст нам локальную координату
z, в которой
x = z(0), а
\gamma = {z(e^{i\theta}) : \theta \in R}. В ней можно записать
q = f(z)(dz)^2, и выбрать в векторных полях на окружности мнимый базис
\xi_n = e^{in\theta}d/d\theta. Тогда интеграл выше запишется как
\xi_n(q) = \int_{S^1}f(z)z^{n+1}dz. Отсюда можно сделать следующие выводы:
- Если n > 1, то \xi_n действует нулём на всех квадратичных дифференциалах (стало быть, задаёт тривиальную деформацию),
- \xi_{-2} есть нетривиальная деформация, ядро которой состоит из квадратичных дифференциалов с простым нулём в x,
- Вообще \xi_{-m} есть линейный функционал, сообщающий квадратичному дифференциалу вида f(z)(dz)^2 член ряда Тейлора функции f с номером m-2.
В принципе, неясно, что противоречит тому, чтобы из
3g-3-мерного пространства квадратичных дифференциалов внезапно у всех оказался нулевой
m-тый член ряда Тейлора для какого-то большого
m. В таком случае
\xi_{-m-2} будет тривиальной деформацией. Но очень сомнительно. Кроме того, подозреваю, что для общего выбора кривой, точки и локальной координаты деформации
\xi_{-2}, \xi_{-3}, ... \xi_{-3g+2} будут линейно независимы, а все остальные деформации
\xi_{-m},
m>3g-2, как-то через них выражаться. Наверняка это члены рядов Тейлора каких-нибудь функций Бейкера-Ахиезера. С другой стороны, у этого явно должно быть гомологическое описание, типа сизигии, точки Вейерштрасса и т. п.
Для кривых рода два это можно проверить в координатах кстати: реализуем её как двойное накрытие
CP^1 с ветвлением в корнях многочлена пятой степени
p(t) и в бесконечности,
p(0) \neq 0, тогда около нуля базис глобальных квадратичных дифференциалов можно выбрать в форме
(dt)^2/p(t), t(dt)^2/p(t), t^2(dt)^2/p(t). Если
p(t) = t^5 + at^3 + bt^2 + ct + d, то имеем разложение
1/p(t) = 1/d - (c/d^2)t + ((c^2-bd)/d^3)t^2 + .... У других квадратичных дифференциалов из нашего базиса ряд Тейлора получается съезжанием этого вправо. То есть матрица верхне-треугольная, и следовательно шифферовские вариации
\xi_{-2}, \xi_{-3}, \xi_{-4} порождают всё касательное пространство. Так скажем
\xi_{-2} убивает оба дифференциала
t(dt)^2/p(t), t^2(dt)^2/p(t), и следовательно является изопериодической деформацией для 1-формы
tdt/\sqrt{p(t)}. К сожалению, для гиперэллиптических кривых более высокого рода произведения 1-форм порождают не все квадратичные дифференциалы, и ничего подобного сказать не оказывается возможным.
Зачем всё это? Мы знаем, что пространство Тейхмюллера хотя и неоднородно, но очень похоже на однородное (а действующая на нём группа классов отображений при этом похожа на решётку в группе Ли, действием которой оно и однородно). А тут мы его продоминировали однородным, хотя и бесконечномерным. Какие слои этого отображения? Их тоже можно представить геометрически на самом деле. А именно, пусть
f -- близкий к тождественному диффеоморфизм окружности такой, что
S_f = S. Тогда имеем голоморфную биекцию
\psi_f : S_f \to S, и контур
\psi_f(\gamma) \subset S, достаточно близкий к
\gamma в силу близости
f к тождественному (род
S предполагаем большим). Это задаёт отображение из слоя вариации Шиффера в пространство простых контуров на
S, которое тоже в своём роде однородное (потому что
S униформизуется плоскостью Лобачевского). То есть пространство
Diff(S^1)/Moeb(S^1) можно мыслить как локус в пространстве простых контуров на универсальной кривой над пространством Тейхмюллера. Мне кажется, несмотря на примитивность, это не вполне бессмысленно.
Current Mood: awake