Что на самом деле гласит теорема Бовиля-Мериндоля Пусть есть гладкая обильная кривая
S на поверхности
X. Возьмём нормальную точную последовательность
T_S \to T_X|_S \to \nu_{S/X} и дуализируем её, а потом подкрутим на
\nu^2_{S/X}. Получится точная последовательность
\nu_{S/X} \to \nu^2_{S/X} \o \Omega_X|_S \to \nu^2_{S/X} \o K_S. Имеется её родной связующий гомоморфизм
H^0(\nu^2_{S/X} \o K_S) \to H^1(\nu_{S/X}). С другой стороны, имеется отображение Валя-Гаусса
\Lambda^2(H^0(\nu_{S/X})) \to H^0(\nu^2_{S/X} \o K_S). Так вот, в
статье Бовиля-Мериндоля доказывается (хотя и не говорится прямо), что композиция
\Lambda^2(H^0(\nu_{S/X})) \to H^0(\nu^2_{S/X} \o K_S) \to H^1(\nu_{S/X}) отображения Валя-Гаусса и связующего гомоморфизма подкрученной конормальной последовательности равняется нулю. В частности, если отображение Валя-Гаусса для нормального пучка сюръективно, то нормальная последовательность расщепляется, и локальные деформации кривой
S \subset X тривиальна. Например, это верно, когда
X это K3-поверхность, а
S есть множество неподвижных точек инволюции, фактор по которой есть двулистное накрытие
CP^2: нормальное расслоение можно вложить в ограничение касательного на кривую как
(-1)-собственное подрасслоение дифференциала инволюции.
Отсюда следует, что отображение Валя-Гаусса для нормального пучка кривой, лежащей на поверхности, поднимается до отображения
\Lambda^2(H^0(\nu_{S/X})) \to H^0(\nu^2_{S/X} \o \Omega_X|_S). Например, когда
X есть абелева поверхность и
\Omega_X тривиально, получаются какие-то пары квадратичных дифференциалов на кривой. Вообще-то ужасно, совершенно не могу даже понять, расщепляется ли у кривой на абелевой поверхности нормальная точная последовательность. Вроде как да, но с другой стороны у кривой рода три и выше бывают деформации, которые не сдвиги.
Current Music: Michigander – East Chicago, IN