крест и радуга

Контактная структура на одном локусе Гурвица
Обнаружил такую любопытную лемму.

Лемма (о сети ловчей). Пусть C алгебраическая кривая, и \Phi \in S^m(H^0(K_C)) полином от 1-форм на ней. Тогда гиперповерхность с уравнением {\Phi = 0} \subset P(H^0(K_C)^*) содержит каноническую кривую C, если и только если \Phi лежит в ядре умножения S^m(H^0(K_C)) \to H^0(K_C^m).

Доказательство: В самом деле, если ev_x : H^0(K_C) \to T^*_x есть отображение вычисления, то \Phi({ev_x}^m) \in {T^*_x}^m есть значение \Phi в точке x \in C, и оно тождественно равно нулю во всех точках, если и только если всякая прямая ev_x \subset H^0(K_C)^*, то есть всякая точка канонической кривой, лежит на гиперповерхности {\Phi = 0}. ∎

В случае кривой рода четыре имеем dim S^2H^0(K_C) = 4*5/2 = 10, dim H^0(K_C^2) = 3*4-3 = 9, так что каноническая негиперэллиптическая кривая рода четыре лежит на единственной квадрике. Более того, dim S^3H^0(K_C) = 4*5*6/1*2*3 = 20, dim H^0(K_C^3) = 5*4-5 = 15, так что она лежит и на пятимерной линейной системе кубик, из которых четырёхмерное семейство -- это та самая квадрика, к которой дорисовали плоскость, а стало быть имеется ещё единственная с точностью до этого семейства кубика, и таким образом негиперэллиптическая каноническая кривая рода четыре есть пересечение квадрики и кубики.

Теперь пусть у кривой C есть инволюция i, фактор по которой -- кривая рода два. Будем называть такое данное кривой рода 4 -> 2. Тогда H^0(K_C) = H_+ + H_-, где H_+ = H^0(K_{C/i}). Имеем разложение S^2H^0(K_C) = [S^2H_+ + S^2H_-] + [H_+ \o H_-]. Из подсчёта размерностей легко видеть что, отображение умножения на отрицательных собственных векторах инволюции H_+ \o H_- \to H^0(K_C^2)_- есть изоморфизм, так что ядро содержится в сумме S^2H_+ + S^2H_-. При этом оно не попадает ни в то, ни в другое слагаемое: в противном случае конус, задаваемый им в P(H^0(K)^*) разваливался бы в объединение двух плоскостей, и не мог бы содержать гладкой кривой рода четыре. С другой стороны, образ этого пространства H^0(K_C^2)_+ сопряжён по Серру касательному подпространству к локусу кривых рода 4 -> 2, так что по двойственности это касательное пространство отображается в сумму двух трёхмерных пространств, с каждым из которых оно пересекается по ожидаемой коразмерности. Итого, на локусе кривых рода 4 -> 2 возникает два двумерных слоения. Фактор по одному из них изоморфен пространству модулей кривых рода два, а само слоение возникает за счёт того, что мы можем зафиксировать кривую рода два и двигать точки ветвления. Фактор по другому изоморфен пространству модулей абелевых поверхностей с поляризацией рода четыре, а отображение на него реализуется сопоставлением накрытию C \to C/i его примиана.

При этом я не вижу, почему это два слоения должны коммутировать. Иными словами, два двумерных касательных пространства к каждому из них в сумме дают распределение коразмерности один на пятимерном локусе кривых рода 4 -> 2, которое не является интегрируемым. Учитывая, что касательное пространство к первому слоению изоморфно H^0(T_{C/i} \o \O_D), где D \subset C/i дивизор ветвления, а ко второму -- H^0(K_C)/H^0(\Omega^1A|_C) = H^0(K_{C/i}), кажется, что это спаривание должно быть попросту вычислением естественного определителя 2-на-2, получающегося подстановкой касательных векторов в 1-формы. В таком случае тензор Фробениуса становится частично вырожденным вдоль локуса в локусе кривых рода (4 -> 2), у которых дивизор ветвления инвариантен относительно гиперэллиптической инволюции на базе -- что естественно, поскольку такие кривые рода четыре, кажется, сами гиперэллиптичны. Однако доказать я этого не в состоянии.

Current Mood: nervous
Current Music: Andrzej Weber -- Characteristic classes of certain nilpotent B-orbits