крест и радуга

Расслоения Бовиля-Мукаи и противоречие в математике
Вот есть у нас многообразие Бовиля-Мукаи BM_d(S, |C|). Оно параметризует пучки на К3-поверхности S с вектором Мукаи таким что, тыры-пыры, короче которые выглядят как линейные расслоения степени d над своим носителем, который приходится кривой из линейной системы |C|. Например, если d = g есть род этой кривой, то оно бирационально изоморфно g-точечной схеме Гильберта Hilb^g(S).

А именно, рассмотрим многообразие F, параметризующее флаги (S, C, D), где C \subset S кривая рода g, и D \subset C эффективный дивизор степени g. Мы можем рассмотреть отображение F \to Hilb^g(S), забывающее про кривую, а можем отображение F \to BM_g(S, |C|), забывающее про дивизор и сопоставляющее ему пучок i_*O_C(D), где i : C \to D тавтологическое вложение. Давайте рассмотрим S вложенной в P^g линейной системой |C|. Тогда проекция F \to Hilb^g(S) неоднозначна в точности в подсхемах, которые содержатся в проективном подпространстве коразмерности хотя бы два (в противном случае через них проходит ровно одна гиперплоскость, высекающая единственную возможную кривую из |C|, на которой эта подсхема лежит). Проекция F \to BM_g(S, |C|) неоднозначна в точности в пучках с h^0 > 1, а по теореме Римана-Роха это в ту же цену, что h^1 > 0.

Наверху это один и тот же локус! Это следует из следующей леммы: кривая из линейной системы |C| на К3-поверхности S сидит на гиперплоскости, которой она высекается вложением S \to P^g при помощи |C|, своим каноническим вложением C \to P^{g-1}. Стало быть, если какая-то подсхема в S лежит более чем на двух гиперплоскостях, это значит что для каждой из кривых, на которых она лежит, она попадает в некоторую гиперплоскость при каноническом вложении. Иначе говоря, существует 1-форма с нулями в этой подсхеме; а пространство таких 1-форм это в точности H^0(K \o O(-D)) = H^1(O(D)).

Всё вышеизложенное верно; где-то же после этого места имеется ошибка.

Про бирациоальную изоморфность многообразий Бовиля-Мукаи другой степени мы, конечно, ничего сказать не можем (за вычетом того что они изоморфны друг другу через 2g-2). Однако они все диффеоморфны схеме Гильберта. Вторые рациональные когомологии схем Гильберта изоморфны, как векторное пространство, H^2(S, \Q) \oplus [E], где [E] класс вдутого дивизора. Группа классов отображений К3-поверхности действует как ортогональная группа формы пересечения, в частности без неподвижных векторов; оно индуцирует на схеме Гильберта такое же действие, у которого инвариантом будет [E].

Теперь рассмотрим группу классов отображений, сохраняющих поляризацию [C]. Она, вроде как, действует ортогональной группой перпендикулярной к нему подрешётки, и на схеме Гильберта стало быть действует всего с двумя инвариантами, [C] и [E]. В постинге на mathoverflow утверждают, что квадрат Бовиля-Богомолова для линейной комбинации a[C] + b[E] равняется a^2[C].[C] - 2b^2, а поскольку [C].[C] = 2g-2, имеем квадрат (2g-2)a^2 - 2b^2. Он не может равняться нулю, если g-1 не есть полный квадрат.

Однако он должен! Группа классов отображений, сохраняющих поляризацию [C], действует эквивариантно и на многообразии Бовиля-Мукаи, сохраняя лагранжево расслоение. Параболический вектор этого расслоения целочислен, инвариантен, и имеет нулевой квадрат Бовиля-Богомолова. Где ошибка?

Current Mood: sick