крест и радуга

Маркман получает свою К3 такой-то матерью: берет то, что мы называли 'существенной структурой Ходжа' (фактор ортогонала к пулбэку O(1) с базы по самому пулбэку O(1)), замечает что оно из теоретико-решетчатых соображений изоморфно примитивным когомологиям какой-то К3, а потом при помощи напильника получает саму К3 (а не только ее класс партнерства Фурье-Мукаи -- хотя казалось бы из примитивных когомологий ничего более тонкого не вытащишь). Но наверное можно было бы пытаться делать это более геометрично.

Давайте отвлечемся и опровергнем одну гипотезу Богомолова. Пусть есть лагранжево расслоение над P^n, и возьмем прямую P^1 \subset P^n. Допустим, что над нею есть сечение. Богомолов предположил, что тогда есть рациональное сечение надо всем P^n: надо-де просто поелозить этим P^1-ом, который есть сечение, во всех направлениях, таким образом получится сечение над любой прямой в P^n, а стало быть и рациональное сечение.

Пример будет такой: возьмем К3-поверхность S с линейной системой |C| \subset S кривых рода два. Как известно, всякая такая K3 допускает инволюцию с фактором P^2, после которой линейная система |C| превращается в линейную систему прямых. Рассмотрим компактифицированное многообразие Пикара Pic^1(|C| \subset S), члены которого суть пучки с носителями на кривых из |C|, в ограничении на свой носитель устроенные как линейное расслоение степени 1. Выберем точку x \in S, и рассмотрим всевозможные кривые из C_t \in |C|, проходящие через x, и на них пучок O_{C_t}(x). Это задаст рациональную кривую в многообразии Pic^1(|C|), которая проецируется в прямую, двойственную к x (базой лагранжева расслоения является P^2, двойственная к той, что накрывается поверхностью S). Гипотеза Богомолова утверждала бы, что это сечение разносится до рационального. Однако это неверно: в противном случае имелся бы бирациональный изоморфизм Pic^1(|C|) \to \Pic^0(|C|) с многообразием Маркушевича, в то время как известно, что они связаны только вырожденною твисторной деформацией. Напротив, легко видеть, что всячески двигая базу этого сечения (то есть точку x \in S), мы получаем рациональные кривые, заметающие следующее многообразие: среди всего многообразия модулей пучков, сосредоточенных на кривых из |C| и имеющих в ограничении на них степень 1, мы берем те, что получаются как O_C(x) для какой-то точки x \in C. С каждым слоем такой локус пересекается по кривой (образу вложения C \to Pic^1(C)), то есть суммарно это такой относительный тэта-дивизор. Фактор по его характеристическому слоению есть исходная K3-поверхность S.

Выбор рода два особенно нагляден, но можно повторить все то же самое для любой поляризованной К3. А именно, в компактифицированном многообразиии Пикара Pic^k(|C| \subset S) будет сидеть локус \Theta(S, |C|, k) размерности g+k, состоящий из пучков, выглядящих в ограничении на свой носитель C как O_C(x_1 + x_2 + ... + x_k) для каких-то точек x_1, x_2, ... x_k \in C. Он будет допускать бирациональное стягивание на Hilb^k(S) с общим слоем P^{g-k}, причем, рассматриваемые как подмногообразия в Pic^k, слои эти проецируются на базу как линейные подпространства Pic^{g-k} \subset P^g.

Так что возможно в маркмановской задаче имеет смысл делать вырожденную твисторную деформацию такую, в которой возникал бы относительный тэта-локус \Theta(1) размерности g+1, а его фактор по характеристическому слоению был бы исходной K3. Однако мы не можем контролировать ходжевость соответствующего класса в H^{2g-2} гомологически. Вместо этого можно добиться ходжевости тэта-дивизора в H^2 для k = g-1. Однако пока я это писал, мне опять стало тошно про это думать. Наверное, все это уже было у Савона.

Current Mood: sick