крест и радуга

дивизор на четырехмерном обобщенном куммере с нетривиальным классом в группе Брауэра
Примеры из прошлого поста немного переносятся в обобщенные куммеры. А именно, пусть на абелевой поверхности A есть линейная система |C| кривых рода m+2, то есть параметризованная P^m. Кривая такой линейной системы проходит через общие m точек, стало быть условие 'x_1, x_2, ... x_{m+1} лежат на одной кривой из |C|' имеет коразмерность один в Hilb^{m+1}(A). Давайте возьмем этот дивизор, и пересечем его с Kum^m(A) \subset Hilb^{m+1}(A), который мы определяем как прообраз нуля 0_A при отображении суммирования Hilb^{m+1}(A) \to A, \{x_i\} \mapsto \sum_i x_i. Получится какое-то подмножество в куммере, обозначим его за D (потому что иногда наверное это дивизор).

В принципе, может получиться весь куммер. Давайте m = 1; тогда линейная система может быть сдвинута таким образом, что все ее кривые рода три будут симметричны относительно умножения на -1_A, и в таком случае всякий цикл из Kum^1(A), то есть имеющий вид (-x, +x), будет лежать на какой-то кривой. Но уже для m = 2 выходит интереснее.

Я возьму линейную систему такого вида: кривые рода четыре, проходящие через 0_A, и имеющие там нодальную особенность. Можно показать, что всякая такая кривая сохраняется умножением на -1_A, и его ограничение, рассматриваемое как инволюция \iota на нормализации кривой, действует с факторкривой рода два. Какая тройка точек x, y, z \in C \subset A суммируется в 0_A?

Вложение C \to A определяет гомоморфизм из якобиана Jac(C) \to A, и тройка суммируется нулем, если соответствующая точка x + y + z \in Jac(C) лежит в ядре этого гомоморфизма. С другой стороны, ядро этого гомоморфизма -- это неподвижные точки продолжения инволюции \iota на якобиан. Точка неподвижна, если имеется линейная эквивалентность дивизоров x + y + z \sim \iota(x) + \iota(y) + \iota(z). Тут могут быть два случая. В первом -- это реально один и тот же дивизор, и тогда с точностью до перенумерации x = \iota(x) (и потому отображается в 0_A), а y = \iota(z). Во втором -- это два разных, но линейно эквивалентных дивизора, а потому h^0(O_C(x + y + z)) > 1. Но по формуле Римана-Роха h^0(O_C(x + y + z)) - h^0(K_C(-x - y - z)) = 3 - 4 + 1 = 0, так что это означает, что имеются как минимум две 1-формы, зануляющиеся в x, y, z.

А мы хорошо знаем, что это такое: рассмотрим C как каноническую кривую в P^3, то есть пересечение квадрики и кубики. Канонические дивизоры на C это ее плоские сечения, а тройки точек, в которых зануляется пара 1-форм -- это ее трисекущие, то есть образующие квадрики, на которой образ канонического вложения C лежит. Заметим, что инволюция \iota имеет два плюса и два минуса, а потому при действии на P^3 = PH^0(K_C)^* она сохраняет не просто квадрику, а оба семейства прямых на ней (а не меняет их местами). Стало быть, трисекущие xyz и \iota(xyz) принадлежат одному и тому же семейству, а потому соответствующие дивизоры линейно эквивалентны: в самом деле, если abc трисекущая из другого семейства, то оба дивизора a + b + c + x + y + z и a + b + c + \iota(x + y + z) канонические.

Значит, каждая кривая в нашей линейной системе определяет две рациональных кривых в дивизоре D \subset Kum^2(A) две рациональных кривых. Поскольку сама линейная система параметризуется P^2, сильно подозреваю, что эти рациональные кривые должны переставляться монодромией, и в таком случае фактором D по характеристическому слоению будет некоторая К3-поверхность рода два. Это расслоение на коники над ней строится не как проективизация векторного, коники возникают как спиноры -- поэтому можно надеяться, что оно будет иметь ненулевой класс в группе Брауэра.

Можно, аналогично ситуации схем Гильберта, смотреть на тэта-локусы большей коразмерности. Например, взять абелеву поверхность с линейной системой кривых рода три, и рассмотреть в ее Hilb^3 локус коразмерности два, состоящий из троек точек, сидящих на одной кривой из линейной системы. Но теперь час уже поздний, и я что-то не могу сообразить, как он пересекает сидящий там Kum^2, а если и соображу, то уже будет лень записывать. Спокойной ночи.

Current Mood: sleepy