Чем больше частиц, тем меньше неопределенность :-)

Нифига :-)
Неопределенность как правило выше, но требования к точности тоже снижаются (никому не нужна координата футбольного мяча с точностью до долей нанометра), поэтому кажется что неопределенность ниже.

Такие формулы есть, но тензорная математика — удел сильных, в научно-популярной литературе они не рассматриваются. То же уравнение Шредингера в тензорах смотрится куда проще, но его ещё объяснить надо :)

А можно ссылочку?

Мы их изучали на последнем курсе университета, интернета тогда почти не было.

А, наверно, имеется ввиду спинорное уравнение Дирака.

”где параметром может быть что-то менее тривиальное чем энергия или импульс”
Параметр в КМ определяется через оператор. Води операторы для разных параметров, дальше находи их коммутаторы. В результате получишь нужное соотношение неопределенностей. Пока нет оператора, то и говорить о параметре с точки зрения КМ нет смысла.

"Нет оператора, нет и параметра" - это я понимаю. Но в этом и проблема: хочется каких-то правил, чтобы были и достаточно общими (не требовали разрисовывать "сломается ли эта стеклянная бусина, если по ней стукнуть молотком" через отдельные кварки), и позволяли бы в принципе хоть что-то делать с такими "параметрами" (термодинамика ведь не заставляет нас учитывать каждую частицу)...

”термодинамика ведь не заставляет нас учитывать каждую частицу”
Термодинамика получает свое объяснение из статфизики. Т.е. это учет каждой частицы, но весьма своеобразный. Есть и квантовая статфизика. Кстати, энтропию не прибегая к КМ ввести довольно сложно, если вообще возможно:)
”Но в этом и проблема: хочется каких-то правил, чтобы были и достаточно общими ”
Что значит общими? Применимыми к система из большого числа частиц? Тогда чем классическая механика плоха, за исключением случаев макроскопической синфазности типа сверхтекучести, всякого рода конденсатов и т.п.?

> Термодинамика получает свое объяснение из статфизики. Т.е. это учет каждой частицы, но весьма своеобразный.

Но в результате мы получаем макроскопический параметр, с которым можно работать, не думая о частицах. И который отвечает на вопросы макроуровня, типа "что будет, если смешать ведро мёда и ложку дерьма ведро холодной и ведро горячей воды".

> Что значит общими? Применимыми к система из большого числа частиц? Тогда чем классическая механика плоха, за исключением случаев макроскопической синфазности типа сверхтекучести, всякого рода конденсатов и т.п.?

Я понимаю, что я хочу "всего, сразу и притом нахаляву". Но хочется примерно следующего. Есть макроскопическое свойство, "классическое" (в том смысле, что для его описания обычно используют классическую физику). Например, вязкость жидкости. Для этого параметра теоретически можно придумать квантовый оператор (что его запись не поместится в нашей вселенной - отдельный вопрос), а для этого оператора должен существовать сопряжённый (или как там оно правильно называется), создающий пару для соотношения неопределенности.
Так вот, хочется имея параметр "вязкость", иметь возможность (1) сказать хоть что-то про то, какими свойствами будет обладать параметр, ему сопряжённый, и (2) иметь если не работающий "матан" для всего этого, то хотя бы терминологию для описания.

> Тогда чем классическая механика плоха

Тем что там этого нет, очевидно :-) В классике "неопределённости" независимы (точнее, в классике нет неопределенностей, может быть только "неточность" или "неизвестность", и они очевидно независимы).

”Но в результате мы получаем макроскопический параметр”
Не просто макроскопический, а и усредненный.

”с которым можно работать, не думая о частицах”
Дык и в квантах их дофига: суммарный заряд, суммарная масса (она же энергия), барионный заряд, температура …

”Для этого параметра теоретически можно придумать квантовый оператор (что его запись не поместится в нашей вселенной - отдельный вопрос),”
Я думаю поместиться. Сверхтекучесть, т.е. нулевая вязкость, в КМ описывается: книжки есть, сам видел:)
”(1) сказать хоть что-то про то, какими свойствами будет обладать параметр, ему сопряжённый”
Дык этих параметров может быть дофига. Вообще можно придумать произвольный оператор.

”точнее, в классике нет неопределенностей”
Ну да, нет. Точнее они очень малы, что прямо следует из КМ. Есть еще всякие квазиклассические приближения в КМ, как раз для такого случая, когда неопределенность мала, но учесть ее хочется.

> Я думаю поместиться. Сверхтекучесть, т.е. нулевая вязкость, в КМ описывается

Боюсь, что это особый случай, и ненулевую вязкость описать будет сложнее :-) Хотя я конечно преувеличиваю - "рулона обоев" скорее всего хватит с запасом, "более чем вселенная" это скорее для тех операторов, которые я на самом деле хочу описывать...

> Дык этих параметров может быть дофига. Вообще можно придумать произвольный оператор.

В смысле? А разве для оператора не ровно один сопряженный, а много разных? Я на самом деле не знаю, "мы это не проходили" :-)

Я, собственно, чего хочу-то.
Когда я измеряю (делаю определенным) импульс - я "порчу" (делаю неопределенным) координату.
Когда я измеряю вязкость, или скажем твёрдость по Моосу - что именно я при этом "порчу"? Точнее, поскольку это вряд ли выразимо простым образом - что вообще можно сказать про то, что я "порчу" при измерении вязкости, и какая есть для всего этого терминология (в ТД есть термин "энтропия", есть ли в КМ что-то кроме "неопределенности").

”А разве для оператора не ровно один сопряженный, а много разных? ”
Оператор – это вообще любое действие над волновой функцией. Они могут быть некоммутируемыми, тогда возникает соотношение неопределенностей. Хорошо известный пример: оператор координаты есть умножение на эту координату, оператор импульса есть производная по координате. Ясно, что они не коммутируют, что просто означает, что результат зависит от порядка действий. Соответственно, можно придумать массу всяких операторов, особенно для волновой функции для многих частиц. Часть будут коммутировать, а часть нет.

”Когда я измеряю вязкость, или скажем твёрдость по Моосу - что именно я при этом "порчу"?”
Да много чего портиться, а много чего нет:)

”в ТД есть термин "энтропия", есть ли в КМ что-то кроме "неопределенности"”
Та же энтропия имеет место быть в КМ, да и все законы сохранения классической механики + собственные законы сохранения физики элементарных частиц.

Значит ли это, что в случае той же координаты, соотношения неопределенностей есть не только для пары "координата/импульс", но и ещё для множества пар "координата/что-то"? Если так - то почему популярна только пара "координата/импульс", а не другие некоммутирующие с координатой операторы?

> Да много чего портиться, а много чего нет:)

В такой формулировке я ответ и так знаю :-) Хочется чего-то ещё :-)

” Если так - то почему популярна только пара "координата/импульс", а не другие некоммутирующие с координатой операторы?”
Исторически сложилось, да может и в эксперименте часто встречается.
”Хочется чего-то ещё :-)”
Единой теории всего? :-)

Энтропия в КМ есть, законы сохранения тоже. Т.е. есть все, что и в классике и даже больше. А чего еще хочется?

> Когда я измеряю вязкость, или скажем твёрдость по Моосу - что именно я при этом "порчу"?
Думаю, в данном случае измерения повлекут как минимум увеличение температуры. Впрочем, если измерять твёрдость по Моосу какого-нибудь рисового зёрнышка с миниатюрой, то температурой дело не ограничится.

"увеличение температуры" != "увеличение неопределенности температуры", увеличение температуры в классическом приближении _в принципе_ можно попытаться рассчитать. Интересует квантово-механическая связь вида "соотношение неопределенностей" - если "твёрдость по Моосу" связана соотношением неопределености с "температурой", хотелось бы услышать обоснование. "При измерении тело скорее всего нагреется" не катит - в этом нет _неопределенности_ :-)

> Впрочем, если измерять твёрдость по Моосу какого-нибудь рисового зёрнышка с миниатюрой, то температурой дело не ограничится.

Тут есть забавный нюанс. В физике вообще (и в КМ в частности) не всегда обязательно непосредственно взаимодействовать с объектом для получения его свойств, можно проводить косвенные измерения. Скажем, если при взрыве (неподвижной) гранаты вылетели два одинаковых осколка - импульс одного можно узнать измерив импульс второго, и применив ЗСИ. Аналогично в квантовом эксперименте по нелокальной корелляции поляризация одного фотона "определяется" (становится определенной) при измерении поляризации другого(*). И что характерно, соотношению неопределенностей пофиг, каким образом "определилось" состояние частицы - определилось одно, значит неизбежно "испортилось" другое :-)
Возвращаясь к рисовому зёрнышку - пока мы видим, что это "какая-то мелкая белая фигня" - твёрдость "неопределена" (для нас, но субъективность, увы, является трудноустранимым свойством КМ). Если мы поглядим в микроскоп, мы можем по каким-то характерным признакам заметить, что это рисовое зёрнышко, и твёрдость сразу становится значительно более определенной (не точно известной, но неопределенность уменьшается в разы). А вот почему это вдруг окажется связанным именно с температурой, а не, скажем, с пищевой ценностью того же зёрнышка - "и составляет главную научную тайну подкустового выползня"(с) :-)

(*) кстати, попутно возник вопрос: чем питаются сушеные дафнии с чем связана поляризация в смысле соотношения неопределенности. Я вот не знаю, но наверняка же с чем-то связана...

Температура сама по себе характеризует неопределённость состояния вещества.

> Если мы поглядим в микроскоп, мы можем по каким-то характерным признакам заметить, что это рисовое зёрнышко
Но при этом нам придётся осветить объект. Это увеличит его температуру. Он нагреется, а если светить очень сильно, то расплавится-сгорит-испарится. И хотя мы после этого сможем сказать, что "температура объекта до измерения была на 300 градусов ниже", сам объект мы испортим.

Вдогонку: если твёрдость по Моосу связана соотношением неопределенности с температурой, то получается что термостатировав объект, я автоматически "порчу" (делаю неопределенной) его твёрдость. Что, в общем, опять же "неочевидно и требует обоснования" :-)))

Нет, не так. Даже квантовые эффекты здесь работают в сторону "даже если очень сильно охладить объект, неопределённости в нём останется достаточно, чтобы нельзя было точно измерить твёрдость".
Но я не про это. Я про связку "Измерили - передали объекту энергию - увеличили его энтропию - состояние объекта стало менее определённым - какие-то характеристики изменились в непредсказуемую сторону - измерить их и вычесть влияние эксперимента невозможно". Примерно так.

кажеся мне, что это что-то нетривиальное должно быть или сильно стаистическим или будет занимать рулон обоев с двух сторон мелким почерком.

Я склоняюсь ко второму варианту: как тут выше ответили, "параметр - это оператор", если есть оператор - некоторым сложным, но регулярным матаном для него изготовляется сопряжённый оператор и нужное соотношение. Но изготовить оператор для произвольного параметра для нетривиальной системы - может оказаться, что и фургона обоев не хватит...

>> Которая "не может уменьшаться для замкнутой системы" <<
насколько помню, накладываются дополнительные ограничения (кажется [термодинамическая] равновесность, может что-то ещё).
Для неравновесных [замкнутых] систем (напр. переохлождённая жидкость) энтропия может и понижаться.

Я про такие ограничения не слышал, и всегда считал неубывание энтропии "чуть более фундаментальным законом, чем кажется на первый взгляд" - то есть, выполняющимся (для термодинамического понятия "энтропия") ну совсем во всех системах, как закон сохранения энергии например. Хотя возможно я и неправ.
А где можно почитать про системы с невыполняющимся постулатом о неубывании энтропии?

>> Я про такие ограничения не слышал, и всегда считал неубывание энтропии "чуть более фундаментальным законом, чем кажется на первый взгляд" - то есть, выполняющимся (для термодинамического понятия "энтропия") ну совсем во всех системах, как закон сохранения энергии например. <<

ну, поскольку "закон неубывания" вытекает из второго(?) начала, которое, в свою очередь, из "закона сохранения", то да.
Но с другой стороны из соотношений неопределённости следует, что "закон сохранения" как те крокодилы - "лiтають, но нiзэнько-нiзэнько".

касательно же энтропии в Сивухине вычитал буквально следующее: "Он [закон неубывания Э.] утрачивает свою абсолютность и превращается в статистический закон. Энтропия замкнутой системы может не только возрастать, но и убывать"... ну, это там, где Э. уже "исчисляют" по Больцману (т.е. "а ля квантово-механически").

в том разделе, где энтропию исчисляют по Клаузиусу, особо оговаривается, что рассматриваются равновесные состояния и квазистатические процессы, а в случаях, когда невозможно удовлетворить этим ограничениям, отсылают "к Больцману".

>> А где можно почитать про системы с невыполняющимся постулатом о неубывании энтропии? <<
эээммм... Ландафшиц ? :-))
строго говоря, систем таких нет. Просто "закон неубывания ..." выполняется "статистически" а не "абсолютно".

"Статистически" - согласен. Но у нас в силу неопределенности всё только статистически выполняется, сколь бы фундаметнальным оно не было. Я про фундаментальность второго начала говорю в том смысле, что выше статистических отклонений не прыгнешь: нет систем, где энтропия регулярным образом снижалась бы, то есть второе начало - это не "упрощённая модель" или "приблизительное правило", которое при случае можно и нарушить, а строгий закон. А флюктуации у всего есть...

http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_entropy не то?

ЗЫ Кто бы объяснил, почему при умножении на i (http://en.wikipedia.org/wiki/Wick_rotation) термодинамика превращается в квантовую механику, а время, при этом, в пространство. Вот где, теорию заговора надо искать.

> http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_entropy не то?

Надо вчитаться, при первом прочтении "это что-то, могущее оказаться полезным в этом контексте", но это подлежит осознанию и обдумыванию.

Моя проблема в том, что "хороший вопрос содержит половину ответа", а у меня не получается достаточно хорошо сформулировать собственно вопрос, потому что я сам не очень представляю, как должно выглядеть то, что я хочу :-)

> почему при умножении на i термодинамика превращается в квантовую механику, а время, при этом, в пространство

Ого.
Ушёл вникать. Если вернусь с частной теорией прикладной магии (и парой заклинаний) - буду считать это положительным результатом :-)