зачем ты умер, иван

> Морфизм в P^n ясное дело задаётся набором из n+1 функций
> на этой окресности с точностью до пропорциональности.

Да, но вопрос был в другом: как задать этот морфизм глобально?
Поскольку любой морфизм из C в P^n задается обратимым пучком
L на C и n+1 сечениями этого пучка, вопрос: что это за пучек?
Я в первом варианте ответа замел этот вопрос под ковер и сделал
неверное утверждение: пучек тот же самый, что и исходный.

Оказвается, что даже если рациональный морфизм C -> P^n
задавался сечениями тензорной степени некоторого пучка L, то
его распространение на всю кривую C будет задаваться сечениями
пучка, который тензорной степенью L быть уже не обязан! Всегда
нужно вычитать дивизор D, который задает base locus линейной
системы (детали проверил, без пяти сигм).

Если бы при распространении рац. морфизма пучек всегда сохранялся,
то у нас было бы противоречие результату Гильберта-dimpas-
Шейдерера, которые построили такую проективную кривую C и пучек L
на ней (плоская кривая шестой степени и O(4)), что любые сечения пучка
L, задающие рациональный морфизм из C в квадрику x^2 + y^2 + z^2,
будут иметь общий нуль.

> я думаю, что причина недоразумения в несовпадении определения
> понятия "гладкий" для вещественной и комплексной кривой. ну то есть
> может оказаться, что точка в вещественном смысле гладкая, а так --- нет.

Вот это не смог понять: что значит ``точка, гладкая в вещественном
смысле''? Гладкость в контексте схем определяется для произвольных
морфизмов, а не только морфизмов в алг. замкнутые поля; гладкость
сохраняется при base change; гладкость схемы конечного типа над
полем влечет ее регулярность в каждой точке.