[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]
| Time | Text |
|---|---|
01:27 am![[info]](http://lj.rossia.org/img/imported-profile.gif){kind=small} dyatlov@lj[Link] | Что-то подобное испытывал и я, и, уверен, многие другие любители математики; однако не факт, что данная ситуация вредна для общества в целом. В школе, конечно, нас учили безо всяких доказательств. И часто отсекали логически правильные решения чисто по синтаксическим соображениям. Например, мне раз поставили минус на контрольной за выкладку типа 1/6+1/10=10/60+6/60=16/60=4/15. Оказывается, надо было обязательно приводить к наибольшему общему кратному: 1/6+1/10=5/30+3/30=8/30=4/15. В университете ситуация часто была не лучше. Один такой пример - приведение ортогональной матрицы 3x3 к каноническому виду. Я обычно находил у нее собственный вектор для значения 1 или -1, а затем расписывал, как матрица действует на плоскости, ортогональной этому вектору (ортонормированный базис плоскости легко получить методом Грама-Шмидта). Нас же учили, что надо найти все собственные значения, затем собственные векторы, а затем брать вещественные и мнимые части этих векторов. Поскольку в результате надо было решать систему линейных уравнений 3x3 с комплексными коэффициентами, процесс решения занимал в два раза больше времени, однако именно он считался правильным. Однако стоит посмотреть, на кого рассчитаны "синтаксические" курсы. К примеру, умножению в столбик учат в начальной школе. Лично я сомневаюсь, что ребенок будет в состоянии понять, как доказать правильность алгоритма, исходя из ZFC. Главное, что это доказательство ему никак не поможет быстрее или правильнее умножать. Когда ребенок повзрослеет, ему, возможно, будет интересно, почему умножение в столбик работает, но в этом случае он сможет доказать это сам. В противном же случае ему и не нужно знать, почему это работает. Потому что единственный возможный положительный эффект от такого доказательства - то, что он научится мыслить. Однако в современном мире людей, способных мыслить, нужно совсем немного. Гораздо в больших количествах нужны люди, которые способны выполнять алгоритм, не задумываясь о его правильности. Какой прок, например, крестьянину от того, что он будет думать о сложных органических соединениях в почве, или адвокату от размышлений о правильности законов, которые он использует? В некоторых же областях деятельности, например, за рулем, задумываться о том, верны ли правила, вообще вредно. Что будет, если каждый водитель будет ехать не по ПДД, а так, как считает разумным? (Впрочем, у нас так и делают, в результате более 30000 смертей на дорогах в год.) Кроме того, мне кажется, что решение примеров полезно и для математиков. Лично мне, к примеру, достаточно сложно бывает пройти какую-либо теорию без рассмотрения примеров ее работы. Во многих других областях деятельности повторение одних и тех же действий без обдумывания необходимо для достижения успеха. К примеру, прочтение книжек по музыке и гармонии не поможет человеку стать пианистом, пока он не отыграет на инструменте нужное число часов. Я думаю, что нечто подобное есть и в математике. Ведь для того, чтобы использовать теорию, надо понять ее смысл, в определенном роде поверить в нее, а это часто проще всего сделать с помощью примеров. К примеру, интегрирование большого числа функций помогает понять и поверить в саму концепцию интегрирования. В некоторых базовых случаях, как, например, в случае умножения в столбик, вообще неясно, почему доказательство его правильности будет полезно. Ведь концепцию умножения можно понять и без доказательства. Кроме того, "очевидных" явно нигде не доказанных фактов достаточно много. Например, можно попробовать доказать, что сумма произвольного числа слагаемых абелевой группы не зависит от порядка. Еще лучше - доказать, что для любой числовой последовательности существует последовательность ее частичных сумм. Доказательство этого факта может отнять определенное время, но непонятно, какую пользу оно принесет. Вообще, под доказательством обычно понимается что-то вроде вывода в СИПР из аксиом ZFC. Но и СИПР, и ZFC появились позднее, чем сложение и умножение, и неясно, почему последние надо обосновывать, исходя из первых. |
| Reply: | |