Я никогда не умел решать диффуры, кроме как методом подстановки-проверки.

Нашел тоже, чем гордиться.

(Reply to this) (Thread)

Во-первых, я нигде не давал понять, что я этим горжусь.
Во-вторых, это, конечно, лёгкое преувеличение, я, например, в состоянии подобрать подстановку, упрощающую уравнение. Просто я не делаю этого.
В третьих, Рота в своём известном эссе про дифференциальные
уравнения очень хорошо анализирует полезность всевозможных приёмов, которым так
любят учить на курсах дифференциальных уравнений.
В четвёртых, дифференциальная алгебра уже справилась с интегралами от элементарными функциями, значит
скоро справится или уже справилась с диффурами.
В пятых, там где действительно надо решать диффуры,
их почти всегда решают численно.
Поэтому если кто-то собирается решать диффуры, ему гораздо полезнее
научиться хорошо решать их численно,
чем изучать бесполезные элементарные приёмы (смотри эссе Роты).

(Reply to this) (Parent)

Как насчёт challenge'а?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я, признаться, не понял, в чем проблема. Как при делении в столбик не определить текущую цифру неполного частного? Ну, рассмотрение начальных цифр делителя и делимого сводит количество априорных вариантов к двум (ну или к трем, но вроде к двум), дальше надо умножить делимое на меньший из двух априорных вариантов неполного частного и сравнить с делимым.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Очень правильный пост! Я однажды видел в троллейбусе девушку, которая цинично учила наизусть формулировки из серии "предел суммы равен сумме пределов".

Но всё-таки владение синтаксическими методами - это вполне разумная квалификация, которой нужно учить. Очевидно, ты слишком крут для этого, решать диффуры методом тыка - это не каждому дано.

challenge я вроде понимаю как делать:) Основная процедура: домножить делитель на предполагаемое частное и посмотреть на разность с делимым. Можно делать последовательный поиск, можно делать половинным делением, можно делать быстрые оценки. Конечно, я, например, для десятичной системы будут делать гораздо более изощрённо, но это я уже не берусь описать.

(Reply to this) (Thread)

Я, в общем-то не говорил, что синтаксические методы есть абсолютное зло.
В лингвистике, в значительном куске computer science, в логике синтаксические методы используются по делу.
Я просто хочу, чтобы синтаксические методы не использовались там, где не надо.

>Можно делать последовательный поиск, можно делать половинным делением, можно делать быстрые оценки.
Хочу O(1) проб. Всё другое --- слишком медленно и противоречит практике.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Присоединяюсь к rus4@lj:)

(Reply to this) (Parent)

Здесь, кстати, надо заметить, что применяются синтаксические методы
в этих областях весьма содержательным образом. Да и хорошие учебники
по ним вовсе не синтаксические.

(Reply to this) (Parent)

Не могу согласиться с тем, что школьный курс математики *целиком* синтаксический (хотя во многом это, конечно так). Например, готов защищать геометрию.

В примере с задачей про среднюю линию -- не совсем понятно, что значит, что Вам это утверждение казалось тривиальным. Если бы мне оно казалось не тривиальным и я бы попросил разъяснений, то, думаю, Вы смогли бы привести какие-то аргументы. Это и было бы доказательством. Например, можно провести несколько параллельных прямых и сослаться на известные их свойства. У нас в школе именно это и требовалось предъявлять (за формализмом -- чтобы утверждения в док-ве следовали друг из друга -- следили очень строго, но до "списка из 20 аксиом" доводить ничего не требовалось; останавливаться можно было на признаках конгруэнтности треугольников и всяких других известных свойствах и теоремах).

Мне кажется, что геометрия -- как раз одна из наиболее осмысленных частей школьной математики. Именно потому что не "синтаксическая".

(Reply to this) (Thread)

Мне, по-моему, как раз за признак равенства треугольников двойку поставили:)

(Reply to this) (Parent)

>Например, можно провести несколько параллельных прямых и сослаться на известные их свойства.

Проблема заключается в том, что свойства параллельных не являлись для меня чем-то фундаментально более простым, чем свойство средней линии треугольника.

В геометрии тоже есть очень много синтаксиса.
Задачи на построение, задачи на сечения, задачи на треугольники — типичные синтаксические штуки.

Есть, конечно, в геометрии и полезные вещи — теорема Пифагора, подобие, движения, площади и объёмы.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А в каком смысле вы упоминаете линейную алгебру в связи с геометрией?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Очень хорошо все сформулировано.

У меня всегда было такое же отношение к синтаксической математике - не было единой формулировки.

Ужас в том, что теперь мне приходится довольно часто ее преподавать.

(Reply to this) (Thread)

Насколько я знаю, в американских университетах на роль синтаксических предметов претендуют calculus, дифференциальные уравнения, и многие другие курсы для undergraduate'ов.
Насколько я могу судить, среди graduate курсов синтаксиса почти нет.

А вообще, насколько свободен американский профессор в выборе курсов для преподавания? Есть ли какие-нибудь формальные правила?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Почти все undergraduate курсы - синтаксические. На калсулусе ничему, кроме синстаксических манипуляций, научить не пытаются, и ничего, короме умения их выполнять, не проверяют. Graduate курсы - это нормальная содержательная математика.

Формальных правил нет. (Может, где-то и есть, но я не знаю.) Учитываются пожелания и по части курсов, и по части времени. У нас эти пожелания собирают, и пытаются их удовлетворить. Не все пожелания можно выполнить - если есть N секций калксулуса, их нужно прочитать. Если вы хотите читать дифференциальную геометрию каждый год, но еще три дифференциальных геометра хотят того же, вам придется договориться между собой. Есть topics курсы (graduate), в которых можно читать что угодно - если вам удасться собрать некоторое минимальное количество студентов, обычно 5, с некоторыми ухищрениями можно и 4. Есть upper level undergaduate курсы, на которых есть довольно большая свобода в выборе материала.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Оффтоп: а что, правда что ты из гугла ушел?

(Reply to this) (Thread)

Да. Я же теперь аспирант в Berkeley.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А у кого известно? Вы уже уехали?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Что-то подобное испытывал и я, и, уверен, многие другие любители математики; однако не факт, что данная ситуация вредна для общества в целом.

В школе, конечно, нас учили безо всяких доказательств. И часто отсекали логически правильные решения чисто по синтаксическим соображениям. Например, мне раз поставили минус на контрольной за выкладку типа 1/6+1/10=10/60+6/60=16/60=4/15. Оказывается, надо было обязательно приводить к наибольшему общему кратному: 1/6+1/10=5/30+3/30=8/30=4/15. В университете ситуация часто была не лучше. Один такой пример - приведение ортогональной матрицы 3x3 к каноническому виду. Я обычно находил у нее собственный вектор для значения 1 или -1, а затем расписывал, как матрица действует на плоскости, ортогональной этому вектору (ортонормированный базис плоскости легко получить методом Грама-Шмидта). Нас же учили, что надо найти все собственные значения, затем собственные векторы, а затем брать вещественные и мнимые части этих векторов. Поскольку в результате надо было решать систему линейных уравнений 3x3 с комплексными коэффициентами, процесс решения занимал в два раза больше времени, однако именно он считался правильным.

Однако стоит посмотреть, на кого рассчитаны "синтаксические" курсы. К примеру, умножению в столбик учат в начальной школе. Лично я сомневаюсь, что ребенок будет в состоянии понять, как доказать правильность алгоритма, исходя из ZFC. Главное, что это доказательство ему никак не поможет быстрее или правильнее умножать. Когда ребенок повзрослеет, ему, возможно, будет интересно, почему умножение в столбик работает, но в этом случае он сможет доказать это сам. В противном же случае ему и не нужно знать, почему это работает. Потому что единственный возможный положительный эффект от такого доказательства - то, что он научится мыслить. Однако в современном мире людей, способных мыслить, нужно совсем немного. Гораздо в больших количествах нужны люди, которые способны выполнять алгоритм, не задумываясь о его правильности. Какой прок, например, крестьянину от того, что он будет думать о сложных органических соединениях в почве, или адвокату от размышлений о правильности законов, которые он использует? В некоторых же областях деятельности, например, за рулем, задумываться о том, верны ли правила, вообще вредно. Что будет, если каждый водитель будет ехать не по ПДД, а так, как считает разумным? (Впрочем, у нас так и делают, в результате более 30000 смертей на дорогах в год.)

Кроме того, мне кажется, что решение примеров полезно и для математиков. Лично мне, к примеру, достаточно сложно бывает пройти какую-либо теорию без рассмотрения примеров ее работы. Во многих других областях деятельности повторение одних и тех же действий без обдумывания необходимо для достижения успеха. К примеру, прочтение книжек по музыке и гармонии не поможет человеку стать пианистом, пока он не отыграет на инструменте нужное число часов. Я думаю, что нечто подобное есть и в математике. Ведь для того, чтобы использовать теорию, надо понять ее смысл, в определенном роде поверить в нее, а это часто проще всего сделать с помощью примеров. К примеру, интегрирование большого числа функций помогает понять и поверить в саму концепцию интегрирования.

В некоторых базовых случаях, как, например, в случае умножения в столбик, вообще неясно, почему доказательство его правильности будет полезно. Ведь концепцию умножения можно понять и без доказательства. Кроме того, "очевидных" явно нигде не доказанных фактов достаточно много. Например, можно попробовать доказать, что сумма произвольного числа слагаемых абелевой группы не зависит от порядка. Еще лучше - доказать, что для любой числовой последовательности существует последовательность ее частичных сумм. Доказательство этого факта может отнять определенное время, но непонятно, какую пользу оно принесет. Вообще, под доказательством обычно понимается что-то вроде вывода в СИПР из аксиом ZFC. Но и СИПР, и ZFC появились позднее, чем сложение и умножение, и неясно, почему последние надо обосновывать, исходя из первых.

(Reply to this) (Thread)

Может создаться впечатление, что в предыдущем комментарии я резко выступил против идей поста. На самом деле это не так. Я за то, чтобы разрешить всем думать вместо использования синтаксических методов, если у них так будет лучше получаться решать задачи. И в ситуациях с 5x4 и с дифф. уром был бы целиком на стороне Дмитрия. Я просто хотел отметить, что большинству ничего большего, чем "синтаксические" методы, не нужно, а меньшинству они тоже могут оказаться полезны.

P. S. Вдогонку к приведенному выше примеру про приведение ортогональной матрицы: я в свое время долго и упорно пытался обучить отдельных своих одногруппников этому и некоторым другим методам, доказывая, что так проще и эффективнее. Думаете, кто-нибудь еще стал им пользоваться? ;)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Я просто хотел отметить, что большинству ничего большего, чем "синтаксические" методы, не нужно, а меньшинству они тоже могут оказаться полезны.

Большинству нужно, чтобы его заставляли мыслить, и чтобы оно не превратилось в быдло.
Большинство не способно само решить, что ему нужно, за него должно решать меньшинство.
Ибо большинство хочет только сытно жрать, сладко спать и комфортно срать.
(Четвёртую потребность добавьте сами.)
Задача меньшинства — не допустить, чтобы большинство опустилось до такого состояния.
Добиваться таких целей можно в том числе при помощи осмысленного образования.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Часть ответа на комментарий содержится в обновлении к посту.

В некоторых сферах деятельности, вроде вождения за рулём, человек
работает только на рефлексах (это научно доказано), мозг здесь, конечно же, не привлекается,
и не должен привлекаться.

>Лично мне, к примеру, достаточно сложно бывает пройти какую-либо теорию без рассмотрения примеров ее работы.
Несомненно, большим мотивирующим факторов при изучении теории
является возможность применять её к чему-либо. При этом вовсе
не обязательно заниматься синтаксической математикой, наоборот,
будет гораздо лучше, если примеры будут содержательными.

>К примеру, интегрирование большого числа функций помогает понять и поверить в саму концепцию интегрирования.
А ещё лучше понять интегрирование можно путём применения его в различных осмысленных задачах.

>Вообще, под доказательством обычно понимается что-то вроде вывода в СИПР из аксиом ZFC.
Это совершенно неверно. В наше время под доказательством понимается
текст на естественном языке, удовлетворяющим разумнынм в данной области
критериям строгости. К сожалению, в настоящее время нет ни одной системы
компьютерной проверки доказательств, на которой можно было бы
за разумное время записать доказательство какой-нибудь современной
теоремы, вроде теоремы Фалтингса. Поэтому разговоры о формальных
доказательствах — это из области будущего. Я, кстати, надеюсь,
что такие системы будут созданы.

>В некоторых базовых случаях, как, например, в случае умножения в столбик, вообще неясно, почему доказательство его правильности будет полезно.
Я уже привёл примеры доказательства базовых фактов, вроде коммутативности умножения. Их тоже надо обосновывать. Любой ли выпускник сможет доказать, или хотя бы обосновать ассоциативность натуральных чисел?

>Ведь концепцию умножения можно понять и без доказательства.
Я не понимаю, причём здесь доказательства. Определение это не доказательство.
Концепцию умножения можно понять, выстраивая яблоки в ряды.
Позиционную систему счисления при этом знать совершенно не обязательно.

>Кроме того, "очевидных" явно нигде не доказанных фактов достаточно много. Например, можно попробовать доказать, что сумма произвольного числа слагаемых абелевой группы не зависит от порядка. Еще лучше - доказать, что для любой числовой последовательности существует последовательность ее частичных сумм. Доказательство этого факта может отнять определенное время, но непонятно, какую пользу оно принесет.

Как я уже указаывал, для доказательства следует применять критерии строгости, разумные в данном контексте.
Эти разрешает все такие вопросы.

>Гораздо в больших количествах нужны люди, которые способны выполнять алгоритм, не задумываясь о его правильности.

Такие люди называются быдлом. Мне кажется, одной из целей школы должен
быть выпуск как можно большего количества мыслящих людей и как можно меньшего количества быдла.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Насчет изменения системы образования в школе - это было бы замечательно, если найти тех, кто это сможет преподавать во всех школах. С преподаванием концепций вообще большая проблема: даже иные студенты (мехмата!) не понимают не то что иных концепций или доказательств, а того, зачем нужно вводить какие-то новые понятия и доказывать, казалось бы, очевидные вещи. Пример такого непонимания: зачем вводить понятие конечномерного векторного пространства, если оно и так изоморфно R^n, не проще ли просто всегда исследовать конечные наборы чисел, вместо операторов брать матрицы, а тензоры заменять мультииндексными выражениями? Другой пример: какая разница между шаром и множеством, содержащим шар, при рассмотрении топологии метрического пространства? Я, честно говоря, не знаю, почему так происходит: потому ли, что люди в принципе не способны этого понять или потому, что их этому не научили в школе. Быть может, если изменить школьную систему, хотя бы среди студентов мехмата ситуация улучшится.

Насчет доказательства коммутативности умножения. Цитирую:
> Как я уже указывал, для доказательства следует применять критерии строгости, разумные в данном контексте. Эти разрешает все такие вопросы.
Какие критерии строгости должны предъявляться к доказательству этой самой коммутативности? Я пока вижу два способа. Первый: разрешить доказательство типа "упорядочим яблоки в прямоугольник, а на него, что снизу смотри, что сбоку, количество яблок одно и то же". Второе: строгое с точки зрения мат. логики. Но тогда надо строго определить умножение натуральных чисел, например, с помощью модели Пеано, и доказывать по индукции. (Это, кстати, не очень сложно, как только мы получаем определение.) Однако не выглядит ли последний способ обоснования несколько перевернутым с ног на голову? Может быть, есть третий способ обоснования, который я упустил?

Насчет того, какие люди нужны обществу - моя личная позиция по этому вопросу другая, но подробно обсуждать его не хотелось бы. Как показывает опыт, обсуждения таких темы столь же неконструктивны, как обсуждения политических или религиозных тем. Естественно, компетентным в вопросах того, что нужно обществу, я себя не считаю.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

http://baaltii1.livejournal.com/198675.html

(Reply to this) (Parent)

Я несколько раз писал на тему о том, что коммутативность сложения не очевидна, и что предложенный вами аргумент неявно предполагает гораздо более сильное утверждение - независимость результата пересчета предметов от порядка, в котором мы считаем (совпадение конечных ординальных и кардинальных чисел).

(Reply to this) (Thread)

В принципе, есть три разных понятия — счёт, упорядочение и нумерация.

Счёт — наиболее первичное понятие. Результатом
счёта является натуральное число — 0, 1, 2, …
Интуитивно, натуральное число есть класс эквивалентности конечных множеств относительно равномощности. То есть 5 овец, 5 яблок и 5 ещё чего-нибудь есть равномощные конечные совокупности, следовательно, они соответствуют одному и тому же натуральному числу.
При этом при счёте ничего не надо выстраивать в ряд, упорядочивание не требуется.

Есть понятие упорядочивания — это когда мы вводим на множестве линейный порядок.
Здесь необходимо объяснить, что любое конечное
множество можно упорядочить. Интуитивно это соответствует расположению яблок в ряд.

После этого можно объяснить, что натуральные числа естественным образом упорядочены. При этом слева от числа n будет стоять ровно n чисел (это тоже надо пояснить).

Теперь можно сказать, что мощность начального отрезка, состоящего из чисел, меньших n, есть в точности n.

Наконец, есть понятие нумерации — биективное сопоставление нашей совокупности и начального отрезка натурального ряда.

Наглядный смысл здесь таков, что на каждом яблоке пишется количество яблок, стоящих слева от него.

Далее, есть следующее, теперь уже очевидное утверждение: если
мы установили биективное соответствие между
натуральными числами, меньшими n и нашей
совокупностью (то есть задали нумерацию), то количество элементов в нашей
совокупности есть n.

Далее, что касается аргументации с расположением яблок. Действительно, в таком виде здесь используется нумерация.
Но можно определить сложение проще, как мощность дизъюнктного объединения.
Наглядно это выглядит так. У нас есть
два мешка яблок, и мы пересыпаем все яблоки
из обоих мешков в новый мешок.
Новый мешок обладает следующим свойством:
каждое яблоко в нём изначально находилось ровно в одном из двух мешков, при этом у нас есть биективное соответствие — каждое яблоко из нового мешка находится в паре ровно с одним из яблок ровно одного из двух старых мешков,
при этом каждое яблоко из обоих старых мешков присутствует ровно в одной паре.
Теперь ясно, что если у нас другой мешок, изготовленый таким же способом, то между ними легко устанавливается биективное соответстие — их яблоки спариваются. Действительно, возьмём яблоко из первого нового мешка, перейдём к соответствующему ему яблоку старого мешка и перейдём от него к соответствующему ему яблоку второго нового мешка. (Только надо это как-то попроще записать.) Вот и получили разбиение на пары.
Теперь ясно, что от перестановки мешков ничего не меняется.
Также обосновывается ассоциативность сложения.
Как легко видеть, здесь не требуется нумерация или упорядочивание.

У меня теперь возникли трудности более фундаментального характера:
как интуитивно объяснить, что такое конечная совокупность?
Единственное, что я могу придумать — сказать что-то вроде «Совокупность называется конечной, если извлекая из неё по одному предмету в секунду мы за конечное время извлечём все предметы.».

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Определение натуральных чисел, как мощностей, было испробовано в преподавании в период New Math, если не ошибаюсь. Выходило скверно (©). Детальную критику этого подхода можно найти у Фрейденталя.

Вы, впрочем, тоже признаете, что первичное понятия числа - это понятие ординального числа, возникающего в результате счета. А для доказательства коммутативности предлагаете пользоваться кардинальными числами. Тогда вам нужно будет объяснить эквивалентность этих понятий. Поскольку они, вообще говоря, не эквивалентны, вам нужно выделить ту область, в которой они эквивалентны - область конечных чисел. И тут появляется еще одна трудность, на которою вы указали. Вы предлагаете справиться с ей, используя понятие непрерывного времени, его дискретизации секундами, и снова понятием конечности. Это не выглядит удовлетворительным. В частности, почему вы налагаете ограничение про секунду? Что такое секунда? А не могут ли они ускоряться?

Мы с вами можем объяснить друг другу, почему это все так, как мы думаем. Но остаются две-три проблемы. Нам так в школе не объясняли. Может, нам просто внушили коммутативность сложения, и мы подгоняем наши аргументы под эту веру. На самом деле любое, даже синтакстическое рассуждение явно или неявно использует понятие натурального числа. Так что есть риск порочного круга. Наконец, как объяснить все это детям.

(Reply to this) (Parent)

Kстати, вот книга кажется почти о том, о чем Вы говорите сейчас---обучении арифметикe.
сборник статей, кажется доступен через гугель:

The Development of Arithmetic Concepts and Skills: Constructive Adaptive Expertise
Von Arthur J. Baroody, Ann Dowker

сам сборник:
http://books.google.de/books?id=2tqdBwZr8wsC&pg=PP1&ots=xfI9Hjfdec&dq=dowker+the+development+of+arithmetical+concepts+and+skills&sig=sGY9LpMXYZ2KhE5SQdnJBzQKJyg#PPP1,M1

(Reply to this) (Parent)

Вам было бы полезно хоть немножко почитать Пиаже перед тем как высказывать столь масштабные претензии по поводу школьного образования в 1-6 классах. Тогда по крайней мере перестали бы возникать безумные идеи вроде заведения буквенных обозначений чуть ли не в первом классе.

(Reply to this) (Thread)

Я читал обзоры работ Пиаже, например, этот, книжку Звонкина и ещё что-то.

Однако я нигде не помню такого утверждения, что дети способны вопринимать буквенные только начиная с 10 лет, а не с 8 или с 9 лет.
Не могли бы вы дать точную ссылку?

Вообще, мне казалось, что работы Пиаже относятся в основном, к более раннему возрасту; возможно, я не прав.

Во всяком случае, выполнять какие-то действия (вроде деления в столбик), не понимая при этом, что ты делаешь, на мой взгляд, совсем уж бессмысленно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ссылку поищу. У Пиаже есть книга, посвященная восприятию детьми лет до 11-12. Там много о восприятии абстрактных объектов. Я эту книгу читал в бумажном варианте, поэтому для того, чтобы установить название ее надо найти на полке :-). Но в основном он занимался детьми от 4 до 8 лет. Кстати, мое общение с детьми соответствующего возраста в большинстве подтверждало то, что я читал у Пиаже. Даже для школьника 6 класса задача, в которой имеется абстрактная буква на порядок сложнее той, в которой эта буква заменена конкретным числом.

Многие вещи объяснить можно гораздо позже, чем научить ими пользоваться. И не про всякие вещи вообще нужно всем объяснять. Какой процент людей знает как устроен телефонный аппарат (дисковый аналоговый), однако ж подавляющее большинство умело им пользоваться и не чувствовало никакой потребности в этом знании. Надо сказать, что я за это их не могу осудить.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Физкультура и танцы - синтаксические? O_o

Широкова ты видел только тогда?

(Reply to this) (Thread)

Физкультура и танцы весьма синтаксические.
Тебе говорят, что делать, и ты это делаешь. Всё.

Широкова я видел только на этих олимпиадах, да.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А как же игры и самостоятельная инициатива? Или ты говоришь только о том, что видно с точки зрения формалиста.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

О чем-то подобном писал еще Пуанкаре.

Позволю себе процитировать пару более-менее случайных отрывков :

( Когда ученик начинает серьезно изучать математику, он полагает известными понятия дроби, непрерывности, площади криволинейной поверхности. Он считает очевидным, например, что непрерывная функ- функция не может поменять знак, не обращаясь в нуль. Если вы ему скажете без предварительной подготовки: «Нет, все это не очевидно. Необходимо, чтобы я вам это доказал», — и если в своем доказательстве вы опираетесь на посылки, которые не кажутся ему более очевидными, чем заключение, то что же тогда подумает этот бедняга? Он решит, что математическая наука является лишь произвольным скоплением бесполезных премудростей. Тогда либо ему это надоест, либо он будет забавляться этим как игрой, и придет к образу мыслей, характерному для греческих софистов. )

Выше я уже говорил, почему именно интуиция учит нас
этому искусству. Без нее геометр был бы подобен писателю, в совер-
совершенстве владеющему грамматикой, но лишенному идей.
Но как бы эта способность развивалась, если, стоит ей показаться
на свет божий, ее настойчиво преследуют и изгоняют, если учат не
доверять ей, даже не разобравшись еще, что хорошего можно из нее
извлечь?



В специальных школах, а также в первом классе политехнической
школы не следует говорить о функциях без производных, а если и упо-
минать о них, то со словами: «Возможно, такие бывают, но мы ими не
занимаемся».
Когда ученикам впервые говорят об интегралах, их следует опре-
определять через площади, а строгое определение можно дать только после
того, как ученики вычислят множество этих интегралов.


http://bbixob.livejournal.com/59531.html

(Reply to this) (Thread)

Пуанкаре, несомненно, прав.

>Когда ученикам впервые говорят об интегралах, их следует определять через площади, а строгое определение можно дать только после
того, как ученики вычислят множество этих интегралов.

Не очень понятно, что имеет ввиду Пуанкаре,
ведь определение интеграла через площадь
безупречно строгое, оно даже удовлетворяет самым изощрённым стандартам современной логики.

Однако, интегралы, всё же на мой взгляд, считать не надо.
Надо решать задачи, в которых содержательно применяются интегралы.

Функции без производных полезны, например, в броуновском движении, но действительно,
большинству изучать их совершенно незачем.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не очень понятно, что имеет ввиду Пуанкаре,
ведь определение интеграла через площадь безупречно строго

подозреваю: нужно сказать, что интеграл есть площадь подграфика, а что такое
площадь вы и так уже понимаете (ну или объяснить физически-интуитивно)

Однако, интегралы, всё же на мой взгляд, считать не надо.
Надо решать задачи, в которых содержательно применяются интегралы.

хм. с предлагаемым определением содержательная задача посчитать интеграл х-квадрат, например...ну и решая содержательную задачу вам придется интеграл посчитать

Функции без производных полезны, например, в броуновском движении, но действительно, большинству изучать их совершенно незачем.

вроде лосев сотоварищи пытаются так делать первые полсеместра...
Ваше же возражение не о том: Пуанкаре скорей о том, что вначале учим функции "с производными", а потом, если надо и дорастем-поймем---уже как полагается...вот об этом:


Напротив, когда ученик станет более продвинутым, ознакомится
с математическими рассуждениями, а разум его созреет благодаря это-
этому знакомству, сомнения возникнут сами собой, и ваше доказательство
придется кстати. Оно пробудит новые сомнения, и вопросы у ребенка
будут возникать один за другим, как они возникали у наших отцов,
до тех пор, пока его не станет удовлетворять лишь абсолютная стро-
строгость. Недостаточно сомневаться во всем, необходимо знать, почему
сомневаешься.

пожалуй, процитую еще кусок:

Среди молодых людей, получающих полное математическое обра-
образование, одни, вероятно, станут инженерами. Они изучают геометрию
для того, чтобы ею пользоваться. Прежде всего необходимо, чтобы они
научились хорошо и быстро понимать. И именно в интуиции они нуж-
нуждаются в первую очередь. Другие — их меньше — в свою очередь,
возможно, станут учителями. Следовательно, им необходимо дойти до
сущности. Углубленное и точное знание основных принципов необхо-
необходимо для них прежде всего. Но это не причина не развивать у них
интуицию, так как они создали бы себе ложное представление о науке,
рассматривая ее только с одной стороны. И кроме того, им бы не уда-
удалось развить у своих учеников качество, которого они сами лишены.

(Reply to this) (Parent)

Ты всё правильно говоришь.

Но для начала, наверное, нужно определить,
в чём же цель преподавания математики в школе и школы вообще.

Тогда и станет понятно, о чём спорить, и спорить ли вообще :)

(Reply to this) (Thread)

И в чём она состоит, на твой взгляд?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Дима, у меня, конечно, нет готового ответа,
но можно поговорить на эту тему
и тогда возможно "в споре родится истина" :)

Для начала беседы я могу высказать более-менее
стандартное мнение: школа есть подготовка к жизни,
вроде репетиции... Или вроде прививки,
когда вводится небольшое число опасных микробов,
чтобы выработать к ним устойчивость.

Если встать на такую точку зрения,
то учить детей надо тому, что им пригодится в жизни.

При этом надо учитывать и их способности.
Например, умение запоминать огромные объёмы информации
или спать по 5 часов в день в жизни очень даже
могут пригодиться, только вот пытаться этому учить
произвольного ребёнка, наверное, не стоит :)

Это я к тому, что пожалуй, умение _овладеть каким-то умением_
(например, подсчётом интегралов, хотя то, что это именно интегралы,
совершенно не важно) довольно полезно в жизни.

Ведь многим приходится на работе повторять однотипные
и неинтересные действия, но ведь это надо уметь,
потому что ошибка может повлечь серьёзные последствия.

То, что ты предлагаешь, это скорее учить
_самостоятельно до всего догадываться_.
Это тоже полезно, но возникает вопрос,
который тебе уже задавали: а все ли к этому готовы.

Вообще, учёба - это очень сложный вопрос, по-моему,
где не стоит рубить с плеча.

Видимо, самое логичное - это система различных учебных
заведений, с упором на разное, но так, чтобы
это было явно оговорено, и так, чтобы распределение детей
по ним было разумно. Тяжело видеть ребёнка, которого
родители запихивают в школу покруче (с их точки зрения)
и который там просто надрывается, в результате
только приобретая ненависть к определённым предметам
и неуверенность в себе...

Прости за пространный комментарий :)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я понимаю, о чем ты говоришь. Я всегда было скучно на школьной математике.
Есть и плюсы синтаксического преподавания: оно позволяет привыкнуть. Если ты возьмешь 50 производных, у тебя появится интуиция. А есть еще неизбежность синтаксического преподавания: умных школьников/студентов очень мало. Остальные просто не поймут твоей содержательной математики.
Тому, кому мало школьной математики, могут заниматься дополнительно в кружках, например.
Мне повезло больше, и никогда никто не возражал против моих несинтаксических решений, если они возникали.
Ты сам когда-нибудь преподавал?
Были синтаксические примеры, а можно привести пример содержательного?

(Reply to this) (Thread)

>Если ты возьмешь 50 производных, у тебя появится интуиция.
Не согласен. Интуиция может появиться от чего угодно, только не от тупых вычислений.

>Остальные просто не поймут твоей содержательной математики.
Тогда им надо преподавать медленнее и подробнее. Если же кто-то вообще
не в состоянии усвоить содержательный материал, то тогда ему лучше вообще не заниматься математикой, ибо зачем в таком случае изучать синтаксические процедуры мне не ясно.

>Ты сам когда-нибудь преподавал?
Преподовал когда-то давно. Ничего синтаксического, конечно.

>Были синтаксические примеры, а можно привести пример содержательного?
Это к чему относится?

(Reply to this) (Parent)

Дима, привет.
Мне очень интересен твой пост, так как я непрерывно думаю об этих вопросах.
Я не могу ответить на все это сразу; мне нужны как минимум сутки для более-менее удовлетворительного ответа.

1. На этот пост трудно отвечать, так как в нем смешаны несколько тем: проблемы начального образования, проблемы высшего образования, проблемы высшего образования на западе, цели образования, механизмы получения знаний и т. д.

2. О Реформе Образования.
2а. Некоторые из твоих предложений разумны и я их поддерживаю и успешно реализую.
- Преподаванием занимаются реальные люди.
- Люди, которые высоко компетенты в математике, высоко компетентны в преподавании и настолько заинтересованы в преподавании, чтобы посвятить этому массу времени и сил - таких людей единицы на всей планете.
Как правило, люди либо разбираются в предмете только до какого-то предела, либо они заняты исследованиями и не умеют преподавать этот предмет, либо умеют, но им это не так уж и интересно.
=> те из твоих методологических замечаний, с которыми я согласен (далеко не со всеми), практически не очень осмысленны без понимания того, откуда взять таких преподавателей.

3. ЛЮДИ очень разные. Разным людям - разные стратегии. По моему опыту, людей, мышление которых на твое мышление, ничтожно мало. Такие люди, как ты, учатся сами. Им надо только не мешать. Тебе и не мешали! Я лучше учусь сам, но в последнее время научился учиться и от других. Другие студенты гораздо лучше воспринимают знания от других, и система образования нужна для них, а не для тебя. (На таких, как ты да я, никаких систем не напасешься, одни исключения, так что систему тут ругать нечего.)

4. Насчет доказательств и быдла - скажем, в тех же Штатах, где мы оба сейчас находимся, люди получают многопрофильное образование. Если я, допустим, захочу дополнить свое образование, взяв вводный курс по химии, я буду рассчитывать получить некую базовую эрудицию, некое понимание общих принципов, и т. д. И мне безразлично, что (по большому счету) я не буду понимать химию, как ее понимают химики. Кто-то назовет такое образование "синтаксическим". Я бы не стал.

4а. Образование в Америке гораздо лучше, чем кажется. Да, на первый взгляд здесь много формализма и т. д. Но здесь, кажется, почти каждый третий американец имеет университетское образование (college degree, бакалавра, например). Их можно учить "пониманию", но не тому, которую бывает у меня, или тому, которое бывает у тебя. Им это не нужно. Они не будут этому учиться. У них своя жизнь.
Люди учатся думать, изучая математику, даже не рефлексируя самостоятельно о математике.
Я сейчас преподаю линейную алгебру второму курсу с достаточно низкой средней подготовкой - они хорошие студенты и их можно многому научить, но это нужно делать постепенно. Иначе они перестанут пытаться думать вообще и будут только все заучивать.

5. Я согласен, что, возможно, учиться брать интегралы и решать диффуры руками (кроме десятка совсем классических) в наше время может быть и бессмысленно. Я недавно обсуждал это - что раньше изучали много интегралов так как не было компьютеров. А теперь лучше изучать линейную алгебру, так как на ней основаны все приложения, и в приложениях как раз нужно некое понимание.



6. Про среднюю линию и аксиомы геометрии - я категорически не согласен. R^2 - это всего лишь одна из моделей аксимо геометрии, и то, что верно в этой модели, не обязательно верно в любой, как ты, наверное, знаешь.

Вообще, в пространстве неположительной кривизны средняя линия не больше половины основания, а неотрицательной - не меньше. Значит, доказательство должно работать только для Евклидовой геометрии - например, использовать пятый постулат :)

(Reply to this) (Thread)

Конкретно про Литмо.

Могу еще сказать, что когда я изучал, скажем, Рыжкова или Додонова, я делал это в большой степени формально. На первом курсе у меня не было вообще никакого понимания, и я даже не пытался ничего понять. Я честно заучивал доказательства наизусть, так как не знал, что еще с ними делать :) в этом смысле, наверное, мне бы помогло, если бы мне объяснили, что можно применять голову. По-моему, они никогда не упоминали слово "понимать".

Еще, например, наш курс не учили тому, что такое, например, градиент, однако это активно использовалось. Я до того, как прочитал здесь соответствующий курс, вообще никогда на слышал (и не подозревал), что скалярное произведение градиента на направление дает производную в данном направлении.

Я тогда плохо умел формулировать вопросы. Например, я не понимал значение символа "^" в определении дифференциальных форм, но не задумывался, что это можно спросить или узнать. Теперь я умею формулировать вопросы. Но я же не средний студент...

Кстати, я никогда не отрабатывал никакие механические математические процедуры. Точнее, когда я читал здесь диффуры, я прорешал все домашние задания, и выяснил, как плохо я до этого умел интегрировать по частям :) Но мне такие вещи помогают довольно слабо. Точнее, мне помогает решить несколько примеров, а потом подумать о них подольше.

Но студентам это помогает, я это точно вижу. Практика вырабатывает у них интуицию и потом помогает им что-то объяснить. Моя интуиция, в значительной степени, развилась от решения олимпиадных задач (в частности, по программированию), а им что делать?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Но студентам это помогает, я это точно вижу. Практика вырабатывает у них интуицию и потом помогает им что-то объяснить. Моя интуиция, в значительной степени, развилась от решения олимпиадных задач (в частности, по программированию), а им что делать?

А я что, отрицаю, что практика развивает интуцию?
При изучении математики можно и нужно решать задачи, которые предложены в учебники.
Я, во всяком случае, всегда так делаю.
Именно задачи, а не тупые вычислительные упражнения!
В которых требуется понимание.

>Могу еще сказать, что когда я изучал, скажем, Рыжкова или Додонова, я делал это в большой степени формально. На первом курсе у меня не было вообще никакого понимания, и я даже не пытался ничего понять. Я честно заучивал доказательства наизусть, так как не знал, что еще с ними делать :) в этом смысле, наверное, мне бы помогло, если бы мне объяснили, что можно применять голову. По-моему, они никогда не упоминали слово "понимать".

А я на Рыжкова совсем не ходил, вместо этого читал книгу Гельфанда.
Правда, и в ней не всё было хорошо, потом мне пришлось дополнить её Бурбаки.
Во всяком случае, я никогда не учил доказательств наизусть.

>Еще, например, наш курс не учили тому, что такое, например, градиент, однако это активно использовалось. Я до того, как прочитал здесь соответствующий курс, вообще никогда на слышал (и не подозревал), что скалярное произведение градиента на направление дает производную в данном направлении.

Это тавтология. Что такое градиент функции? С современной точки зрения этот термин устарел.
Сейчас просто гооврят: дифференциал функции. Это — дифференциальная форма ранга 1.
Она задаётся следующим образом: функция — это морфизм нашего многообразия
в вещественную прямую. У этого морфизма есть касательно отображение, действующее
из касательного расслоения нашего многообразия в касательное расслоение вещественной прямой.
Последнее каноническим образом отождествляется с прямым произведением двух
вещественных прямых. Про первую компоненту (точку на прямой) можно забыть,
а вторая (касательное пространство в любой точке) останется.
Вот мы и получили дифференициальную форму ранга 1.
Если подставить в неё векторное поле, то мы тавтологическим образом
получаем производную функции вдоль направления.
Если у нас задан изоморфизм между касательным и кокасательным расслоением,
то можно дифференциальную форму превратить в векторное поле.
При этом подстановка поля в форму переходит в скалярное произведение полей.

>Я тогда плохо умел формулировать вопросы. Например, я не понимал значение символа "^" в определении дифференциальных форм, но не задумывался, что это можно спросить или узнать. Теперь я умею формулировать вопросы. Но я же не средний студент...

Вот об этом я и говорю!
Надо учить людей задавать вопросы!
Даже умные люди могут этого не уметь.

>Кстати, я никогда не отрабатывал никакие механические математические процедуры. Точнее, когда я читал здесь диффуры, я прорешал все домашние задания, и выяснил, как плохо я до этого умел интегрировать по частям :) Но мне такие вещи помогают довольно слабо. Точнее, мне помогает решить несколько примеров, а потом подумать о них подольше.

На мой взгляд, решение тупых вычислительных упражнений не помогает в понимании вообще никак.
Надо решать содержательные задачи.
Тогда и вычислительная техника со временем появится, и понимание будет.

(Reply to this) (Parent)

Очень рад тебя видеть. Попробую понемногу на всё ответить.

>Люди, которые высоко компетенты в математике, высоко компетентны в преподавании и настолько заинтересованы в преподавании, чтобы посвятить этому массу времени и сил - таких людей единицы на всей планете.
Как правило, люди либо разбираются в предмете только до какого-то предела, либо они заняты исследованиями и не умеют преподавать этот предмет, либо умеют, но им это не так уж и интересно.
=> те из твоих методологических замечаний, с которыми я согласен (далеко не со всеми), практически не очень осмысленны без понимания того, откуда взять таких преподавателей.

Более-менее везде учителя математики получаются из выпускников университета
по математическим специальностям. Поэтому твой вопрос сводится к такому:
как сделать так, чтобы из выпускников университетов получались хорошие преподователи? Это уже другой вопрос.

Продолжение следует.

(Reply to this) (Parent)

Другой аспект — насколько разумна нынешняя система образования?
Ведь никто, по существу, не пытался измерить её эффективность научными способами.

Моё мнение заключается в том, что в старших классах
следует выдавать школьникам хорошие учебники,
которые они будут читать. Учебники должны быть написаны профессиональными математиками
(пример — «Алгебра» Гельфанда и Шеня, есть в электронном виде,
рекомендую посмотреть).
У каждого учебника должен быть сайт, где его автор и/или другие математики отвечают
на вопросы, возникающие у школьников. Все ответы
выкладываются на сайт, при этом текст учебника
тоже лежит на сайте и открыв любой параграф
учебника мы сразу видим вопросы, которые уже возникли
у учеников по этому параграфу (или даже абзацу) и ответы на них.
Такая обратная связь позволит быстро улучшить качество учебников.
Учитель же проверяет домашние задания и контрольные работы.
В этом — вся его функция, больше он ничем не занимается.
А в школе проводятся только контрольные работы и экзамены.
При этом учителю на них присутствовать не надо, ведь все задания письменные.

Во всяком случае, сейчас школьные уроки
представляют из себя не что иное, как записывание
конспекта под диктовку учителя. Очень редко
кто задаст вопрос. Кроме того, вопросы у всех
разные и не часто бывает так, что чужой вопрос
представляет для тебя интерес. Кроме того, скорость
восприятия у всех разная, для кого-то учитель читает
слишком быстро, для кого-то слишком медленно.
Решение задач учениками у доски тоже
малоэффективно — все остальные просто сидят
на своих местах, и, как правило, ничего не делают, потому что следить за
чужими попытками решения задачи мало интересно.
Фактически, обучение в данном случае одностороннее.

В моей модели обучение будет двусторонним за счёт двух
факторов: автор учебника и его помощники отвечают
на вопросы школьников, учитель проверяет письменные домашние задания и делает свои замечания.
Кстати, ведь задать вопрос на сайте психологически
значительно проще, чем задать вопрос на уроке.

Кроме того, такой способ обучения развивает крайне важное умение задавать вопросы.
Нынешняя система не способна это сделать.

В связи с этим мне не очень понятно твоё замечание про то, что многие лучше учатся от других.
Лично я гораздо быстрее учусь чему-либо, если кто-то рассказывает
мне этот материал индивидуально у доски, а я взаимодействую с ним различными
способами, задавая ему вопросы, тормозя его, и часто прошу его ускориться, когда
материал мне знаком.
Мне кажется, что к тебе это тоже применимо.
Однако когда я сижу в классе, где сидит ещё 20 человек,
обратная связь фактически полностью исчезает, что доводит эффективность системы до нуля.
Мне непонятно, как нынешняя система обучения с очень слабой обратной связью может
быть более эффективна, чем простое чтение книг вместо с предложенной мною обратной связью.

>Насчет доказательств и быдла - скажем, в тех же Штатах, где мы оба сейчас находимся, люди получают многопрофильное образование. Если я, допустим, захочу дополнить свое образование, взяв вводный курс по химии, я буду рассчитывать получить некую базовую эрудицию, некое понимание общих принципов, и т. д. И мне безразлично, что (по большому счету) я не буду понимать химию, как ее понимают химики. Кто-то назовет такое образование "синтаксическим". Я бы не стал.

Насчёт таких курсов читай пост sowa «Образование как отбор».
Такие курсы называются ознакомительными. По существу, это популяризация науки.
Поэтому они относятся к совсем другой категории, я бы не стал называть это образованием.
Это приобретение общей культуры и эрудиции.
Поэтому вопрос о синтаксичности здесь не стоит.
Школьные курсы истории, географии, литературы, биологии являются ознакомительными.

Продолжение следует.

(Reply to this) (Parent)

Согласно статье в Википедии 0.272 общего числа
американцев имеет высшее образование.
В России, кстати, эта доля ещё больще.
Другое дело, каково качество этого образования.

>Им это не нужно. Они не будут этому учиться. У них своя жизнь.

Так и на курсы никто не заставляет ходить. И в университет никто не заставляет поступать.

>Иначе они перестанут пытаться думать вообще и будут только все заучивать.

Контроль надо строить таким образом, чтобы невозможно было что-либо сделать путём заучивания.
Хочешь зубрить — изволь получить низший балл за этот курс.

Кстати, я считаю, что ознакомительное образование важно.
Именно оно не позволяет опуститься населению до скотского состояния и превратиться в быдло.

Умение формулировать и задавать вопросы, подвергать всё сомнению в любом
месте и в любой ситуации является важной частью образования.

Могу ещё сформулировать, что я считаю синтаксическое образование бессмысленной тратой денег.
Вообще, есть два типа образования:
ознакомительное (оно же популярное) и содержательное, при последнем человек приобретает глубокое понимание предмета.
Первый тип образования существует в (хорошей) популярной литературе.
Его отличительной особенностью является фактически полная независимость частей.
Например, популярное образование по физике нужно, например, затем,
чтобы население понимало необходимость финансирования физических исследований.
Содержательное образование нужно для производства специалистов в данной области.

Синтаксическое образование, на мой взгляд, бесполезно.
Особенно в математике, посольку все такие вещи уже умеют делать компьютеры.
В условиях массового распространения электронных компьютеров
никому не нужны биокомпьютеры в виде людей.
Синтаксическое образование в математике совершенно бесполезно для самих
математиков. Математикам не так часто надо вычислять,
а уж если математику пондобилось что-то посчитать, то он включит компьютер.
Тем более очевидна бесполезность синтаксического образования для неспециалистов.

Твои студенты — зачем они изучают линейную алгебру?
Я уверен, что тем из них, кому действительно понадобится линейная алгебра,
требует именно понимание, а не вычисления, которые может проделать компьютер.
Посещать же линейную алгебру в качестве популярного курса — не самый лучший вариант.

(Reply to this) (Parent)

Теперь что касается вопроса про среднюю линию.
С практической точкии зрения, школьный курс геометрии почти полностью бесполезен,
исключая теорему Пифагора и ещё пару столь же простых вещей.
С точки зрения практических умений он также бесполезен,
так как при решении геометрических задач развивается довольно специфичная техника,
которая потом особо не нужна. В алгебре ситуация с этим обстоит лучше.
Многие люди имеют такое мнение, что школьная геометрия нужна для развития
умения доказывать. Я согласен с тем, что единственная польза от геометрии
заключается именно в этом. Однако непонятно, почему другие разделы математики не подходят
для той же цели. На мой взгляд, алгебра способна справиться с этим гораздо лучше,
потому что в ней больше разноообразия.

У школьного курса геометрии есть большая проблема — он создаёт у школьников иллюзию
строгости там, где её нет. Им кажется, что все теоремы выводятся из аксиом, однако
это совершенно неверно. Беглый взгляд на любой школьный учебник геометрии выявляет
очевидную неполноту указанной там системы аксиом.

На самом деле, первую строгую систему аксиом геометрии в духе Эвклида
дал Гильберт в 1899 году. Пуанкаре заметил, что эта система аксиом
не полна, после чего Гильберту пришлось добавить ещё одну аксиому.
Гильберт и Пуанкаре — два самых крупных математика конца 19 и начала 20 века.

Не удивительно, что в школьных учебниках геометрии до сих пор творится такое безобразие.
Фактически, это подрывает саму идею обучения доказательствам.
То, что делают в школьной геометрии, на мой взгляд называется убедительным рассуждением,
а не доказательством.

Шень про это подробно написал в свой книжке.

Читай также мою дискуссию про школьную геометрию.

На мой взгляд, было бы разумно определить плоскость как множество пар рациональных чисел,
точку как пару рациональных чисел, а прямые задавать параметрически.
Тогда можно развить значительный осмысленный кусок геометрии, связанный с точками,
прямыми и составленными из них фигурами, доказывая при этом все утверждения.
Потом можно будет определить конические сечения и отметить, что окружность и прямая
не всегда пересекаются, даже если расстояние до прямой меньше радиуса.
Это служит основанием для замены рациональных чисел на вещественные.

Во всяком случае, так устраняются бессмыслицы вроде неопределяемых понятий и недоказываемых
утверждений (аксиом). Ведь в математике нет неопределяемых понятий — все
понятия определяются, и нет недоказываемых утверждений (аксиом) — есть лишь
определения. Подробнее об этом написано в моей дискуссии на тему школьной геометрии,
ссылка на которую дана выше.

Что касается геометрий постоянной (ненулевой) кривизны, которые ты упомянул,
то мне кажется, что это уже всё-таки следующий уровень абстракции.
Даже если изучать гиперболическую плоскость в модели верхней полуплоскости,
это уже будет посложнее обычной плоскости.

Тот факт, что одни и те же аксиомы (определения) могут задавать разные объекты,
был, по-видимому, в своё время большим концептуальным прорывом.
Однако в настоящее время такая ситуация имеет место в математике повсеместно.
Собственно говоря, именно с переходом от изучения однозначно заданных объектов
к изучению объектов, удовлетворяющих некоторым аксиомам (определениям) я и связываю
переход от концепции аксиом к концепции определения.
Собственно говоря, термин аксиома теперь является чисто историческим и означает тоже самое,
что и определение.
Есть, например, аксиомы теории множеств, но они, по сути, являются определениями.
Мы имеем разные теории множеств в зависимости от того, принимаем ли мы или отвергаем
аксиому выбора или континуум гипотезу.

Единственная вещь, которая приходит на ум — аксиомы логики первого порядка,
в том случае если мы используем их для построения математики.
Однако это резко расходится с практикой — пока что никто не построил существенного
куска математики в логике первого (или второго порядка).
А уже сами теоремы про логику первого порядка (полнота и другие)
уже опираются на определение логики первого порядка
как некоторого математического объекта (системы вывода).

(Reply to this) (Parent)

А что взять с человека, который заведует кафедрой матанализа? Ты же знаешь, чему учат на всех возможных подкурсах Calculusa: тупым вычислительным приемам, ничему большему.
Преподавательница моя тут недавно увидела у меня решение на полстраницы, сказала, что она учила не так и заставила расписать на семь (sic!). С дифференцированием каких-то гнойный произведений кучи триг функций и их же преобразованиями. Я расписал, но осадок остался.

(Reply to this) (Thread)

Преподовательницу надо было послать и сказать,
что будешь жаловаться в ректорат или в министерство.
Университет должен подготовить новое поколение
математиков-педагогов, которые должны занять
соответствующие позиции во всех кафедрах
математики и начать распространять правильный
взгляд на математику.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Здесь "должен" - означает "неплохо бы", или есть информация о том, что это произойдет?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Но это еще ничего
Завтра я буду сдавать ей расчетное задание, в котором одну задачу решил как-то не так, как она учила, а совсем по-другому. Впрочем, ни у кого из однокурсников не получилось решить тем методом, которым учила она. Проблема моего решения в том, что оно длинное, а у этой женщины в голову столько не помещается

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Кстати, ты просто не представляешь себе, что творится, скажем, на моей (механика и процессы управления специальности). Чтение прекрасных, умных, глубоких курсов типа аналитической механики перемежается с чтением каких-то жутких глупостей, где изучается много-много глупых частных случаев, вся трудность которых заключается исключительно в запоминании факта их существования.

(Reply to this) (Thread)

В современном понимании, аналитическая механика — это симплектическая геометрия.

Ну да, я так и подозревал.

Впрочем, на специальностях вроде «менеджмента»,
которые в большом количестве появились в постперестроечное
время, вообще ничему не учат.

Наглядный пример: я говорил с девушкой со специальности
защита информация. Девушка сказала, что ничему осмысленному
их не учат, а учат какой-то ахинее. После того, как она
перчислила список предметов и их содержание, я согласился.

(Reply to this) (Parent)

Додоноd про таких любителей синтаксиса говорил: "Они с кафедры тождественных преобразований".

Иногда правда сам синтаксис является предметом не чисто синтаксического изучения. В формальных грамматиках, например.

(Reply to this)

Не мог бы кто-нибудь взвалить на себя функции прояснителя моих математических вопросов по аське на своём досуге? Ася моя в профиле, спасибо.

(Reply to this) (Thread)

У меня есть В/О с высшей математикой и с теорией сигналов, что гарантирует некоторое понимание некоторых базовых вещей. Но некоторые даже элементарные могли выпасть и потеряться из-за долгого неиспользования.

Возникает нужда в высшем математическом мышлении в связи с интересами в области обработки сигналов. Конечно, было бы классно встретиться даже в реале, порисовать что-то на бумаге. Живу на Чернышевской.

Взамен могу оказать С++\Linux хелп, если нужно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну, я сейчас живу в Калифорнии, это далеко.

(Reply to this) (Parent)

Можно задавать вопросы здесь, я буду на них
понемногу отвечать. ICQ давно не пользуюсь,
так как закрытый протокол и всё централизованно.
Jabber гораздо лучше.
(Возможно, я скоро снова буду пользоваться Jabber,
хотя не уверен.)

(Reply to this) (Parent)

Примеры «с яблоками» всегда использует Семёныч. Сначала предлагает школьникам объяснить свойства сложения (комм. и асс.), а потом, например, говорит: а почему нельзя складывать разнородные объекты (лампочки с апельсинами)? Можно — здесь у нас появляется линейное пространство; для него можно ввести понятие линейного отобраения и проверить ассоциативность их композиции. Тут, кажется, часто спотыкаются (впрочем, я помню, как сам в средней школе повис над этим, когда мы проходили классификацию движений плоскости по Шарыгину. Там ассоциативность использовалась безо всяких упоминаний, если я правильно помню. Наверное, при переходе от преобразований к их буквенным обозначениям стоит выделять этот момент).
Во всех известных мне случаях речь шла о сильных школьниках 10-ых классов или старше; с другой стороны, может, если учить правильно с самого начала, то это будет доступно всем. Кстати, я краем уха слышал, что чем-то таким занимается Шабат (учить по-другому с первого класса), так ли это?

Про «синтаксические процедуры» — ну ведь не думать так просто). Я слышал, студенты ВМК МГУ очень жалуются, когда им рассказывают диффуры несинтаксически. Да и на мехмате бывает такое…
«Вот об этом я и говорю!
Надо учить людей задавать вопросы!
Даже умные люди могут этого не уметь» — на это испокон веков жалуются. Фейнман, Гротендик… Согласен, что это должно быть одной из основных задач воспитания (всегда в таких случаях ссылаюсь на 11 главу «Хищных вещей века»).

Умение считать, по-моему, необходимо. Во-первых, часто требуется в содержательных математических задачах, во-вторых, полезно по жизни, в-третьих, мне трудно представить человека, не владеющего арифметикой, но способного делать оценки, нужные для понимания «житейской физики» (по-моему, очень важно, чтобы человек умел делать оценки в духе начала «Фейнмановских лекций по физике», чтобы ему не казался нормальным ответ «радиус Земли равен 10см», как тому французскому студенту из рассказа Доценко, и т.д. И чтобы на вопрос: «Отчего Луна бывает видна как полумесяц?» — не отвечали: «Ну, наверное, потому что Земля закрывает её от Солнца», — как один мой сокурсник по мехмату и НМУ ((. Надеюсь, можно понять, чего я хочу, хотя сумбурно сказано).

И, разумеется, ознакомительное образование нужно. Только здесь тоже есть проблемы. В школе я учился в очень сильном классе плюс ездил в летние школы. Поэтому с астрономией, биологией и химией, к примеру, я знаком не «понаслышке», куда глубже, чем программа требует. Соответственно, я к этим наукам отношусь с большим уважением и даже любовью, до конца 10 класса даже думал пойти на биофак) и при этом успешно участвовал в олимпиаде по астрономии. А на мехмате я столкнулся с ознакомительными курсами социологии (ну, это ещё и в школе было, так же плохо) и экономики. Я уверен, что и то, и другое может быть наукой, но все встречи с этими предметами убеждали в противоположном. По социологии нас заставляли учить кучу формальных утверждений, случайным образом объединённых в «теории» и заявляющих что-то очень разное, порой даже прямо противоположное.
В психологии тоже бывают кажущиеся трудносовместимыми утверждениями, но несколько человек показали мне, как в конкретных случаях разные теории переформулируются друг в друга (это как с калибровочной симметрией:)…). А про социологию так я до сих пор и не знаю, насколько она научна.
Понятно, как можно пытаться решать проблему в случае мехмата и соц. (начать — а возможно, и ограничиться этим — с примера неочевидного научного исследования). А вот что делать в школе? Столько хороших учителей, сколько было у меня, почти нигде не бывает (в моей, школе, в частности, большинство разбежалось через несколько лет после моего выпуска), летние школы — это (пока?) необщепринятая практика.

(Reply to this) (Thread)

Тут какое-то дурацкое ограничение на длину сообщения вылезло.
Напоследок несколько мелких добавлений:
волейбол не синтаксичен)),
«Точнее, мне помогает решить несколько примеров, а потом подумать о них подольше» — всецело «за»!
Что геометрия нужна для пояснения того, зачем требуются док-ва: согласен, что с этой задачей аксиоматическое построение плохо справляется. Помню, как долго висел над фразой из Атанасяна, что наложения и движения — это не одно и то же, но любое движение — это наложение и наоборот. Как наш препод в НМУ по алгебре говорил, плоскость — это всего лишь двумерное аффинное евклидово пространство, а не список из 20 аксиом (цитата абсолютно неточная).
Реально же, по-моему, сейчас перед школой стоят более актуальные проблемы, чем создание современной образовательной программы. В моей бывшей школе по сути остались только те предметы, по которым нашлись учителя, взявшиеся добровольно вытаскивать тот или иной класс из болота (могу подробней написать), то же и во многих других местах, как я знаю от своих знакомых. Очень надеюсь, что тенденцией это не является, но пока вижу обратное. В этой ситуации даже синтаксическая геометрия — уже больше нуля.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ограничение на длину сообщения у меня постоянно вылезает.

>волейбол не синтаксичен)),
Не знаю. По-моему, очень синтаксичен. Есть определённый
набор приёмов, достаточно чётко следовать им.

>Помню, как долго висел над фразой из Атанасяна, что наложения и движения — это не одно и то же, но любое движение — это наложение и наоборот.
Вот-вот.

>Как наш препод в НМУ по алгебре говорил, плоскость — это всего лишь двумерное аффинное евклидово пространство, а не список из 20 аксиом (цитата абсолютно неточная).

Всё абсолютно верно. Я уже давно отстаиваю эту точку зрения
и именно в таком виде. Например, здесь:
http://community.livejournal.com/ru_math/557875.html?thread=4837427#t4837427

То, что школа деградирует, это факт.
Я думаю, надо писать хорошие учебники и выдавать их школьникам.
Учитывая, что сейчас во всех школах есть интернет,
можно использовать его во благо — школьники с его
помощью могут общаться друг с другом, задавать
вопросы автору учебника, читать ответы автора учебника
на вопросы других учеников.
Про это я уже тоже где-то писал.
Нехватка квалифицированных учителей частично компенсируется
интернетом, который позволяет общаться с более квалифицированными.

Проблема учителей заключается в том, что они выпускаются
из той же синтаксической системы вузов. То есть
в вузах и школах в основном сидят синтаксические преподаватели,
которые учат студентов и школьников, которые затем
идут преподавать в вузы и школы. Замкнутая воспроизводящаяся
система. Чтобы разорвать цепочку, вузы надо тоже снабдить
хорошими учебниками. Интернет у них уже и так есть.

Наконец, для контроля необходимо ввести независимые письменные
федеральные экзамены в школах и вузах. Что-то вроде
ЕГЭ, с той же технологией, но принципиально отличное по содеражанию.
(ЕГЭ — чисто синтаксический экзамен.)

>В этой ситуации даже синтаксическая геометрия — уже больше нуля.
Больше, но бесконечно близко к нему.

(Reply to this) (Parent)

Всё правильно и я со всем согласен. Есть замечание по поводу умения считать.

> Во-первых, часто требуется в содержательных математических задачах, во-вторых, полезно по жизни, в-третьих, мне трудно представить человека, не владеющего арифметикой, но способного делать оценки, нужные для понимания «житейской физики» (по-моему, очень важно, чтобы человек умел делать оценки в духе начала «Фейнмановских лекций по физике», чтобы ему не казался нормальным ответ «радиус Земли равен 10см», как тому французскому студенту из рассказа Доценко, и т.д.

При решении содержательных математических
задач всегда можно воспользоваться калькулятором.
Что касается жизни и житейской физики, то здесь
гораздо важнее уметь делать приближённые вычисления
а ля Фейнман (об этом можно прочитать в его книжках),
а не умение делить в столбик, например. Как раз
этому в школе и не учат.

Что касается ознакомительного образования, то непонятно,
зачем нужны плохие ознакомительные курсы. Пусть
уж лучше не будет никаких, чем будут такие ужасные,
как, например, описанная социология. Если же появится
возможность прочитать хороший курс, то всегда
можно добавить его в программу.

И тоже самое с математикой. Я не думаю, что имеет
смысл тратить время на синтаксис. Надо сразу
начинать изучать всё осмысленно. Конечно, это
будет занимать больше времени (быть может, в несколько раз), чем в старших классах,
зато это время не будет тратиться зря.

(Reply to this) (Parent)

http://community.livejournal.com/ru_math/557875.html?thread=4837427#t4837427
Кажется, отсюда Вас и нашёл…

>Учитывая, что сейчас во всех школах есть интернет,
>можно использовать его во благо
Там обычно очень малое число ресурсов доступно. К примеру, «Интеллектуал» не может в интернет-карусели участвовать, так как сайт недоступен.
Но это не главное. Мне кажется, идея хорошая, возможно, удастся реализовать обратную связь (однако сомневаюсь, что это будет сильно эффективнее хорошей книги и тем более живого общения — а для последнего преподавателей не хватит, даже если каждый, кто умеет объяснять, станет проводить публичные лекции. Так что стоит рассатривать это лишь как дополнение к книгам).
Всё упирается в книги, учителей и родителей…
>Я думаю, надо писать хорошие учебники и выдавать их школьникам.
Хорошие книги есть и сейчас, правда, связной картины математики, по-моему, они не дают. А написать новую — это мало кто может, и это тяжело. Устрашает то, что непонятно даже, с какого бока подступать.
Что, к примеру, делать преподавателю-факультативщику в следующей ситуации:
в 7 классе прошли с хорошим преподавателем положенную программу по Шарыгину и вдобавок начало 5 главы (||-ые прямые). В этом году новый учитель. За полугодие пройдены только темы: вписанные углы (реально — на факультативе) и начат(!) §6.1 — параллелограмм, ромб, квадрат; какое там подобие… Ничего удивительного, что даже из «пройденного» не всё усвоено: где уж тут понять, когда 7000 раз повторено чёрт знает что (класс относительно сильный, в олимпиадах участвуют небезуспешно). Фактически, факультативщику либо забивать на все планы и ложиться на амбразуру и заниматься обычной геометрией, либо…? а куда без геометрии-то.

Есть студенты (НМУ), готовые провести зимнюю школу или занятия в любой другой форме. Что рассказывать? Верней, что делать? Для сколько-нибудь серьёзного преподавания разумной математики нужно, наверное, больше чем одиночный цикл занятий, и вообще куча времени требуется. Может, надо устроить демонстрацию — разобрать несколько необычных тем и сказать: «Видите, какие чудеса бывают? К сожалению, мы почти ничем не можем вам помочь, читайте устаревшие учебники, поменьше слушайте школьного учителя»?

Как Вы, наверное, поняли, мой интерес сугубо практический.

>Чтобы разорвать цепочку, вузы надо тоже снабдить
>хорошими учебниками. Интернет у них уже и так есть.
Нереально. Можно помочь самым сильным, но возможности исправить систему, калечащую людей (ведь правда наизусть доказательства учат. Со всеми /17 и без малейшего смысла. Потому что спрашивают соответственно), я не вижу. Даже учебников недостаточно.

>для контроля необходимо ввести независимые письменные
>федеральные экзамены в школах и вузах. Что-то вроде
>ЕГЭ, с той же технологией
Не очень понял, что понимается под технологией (всегда ассоциировалось у меня с тестами). Просто общий экзамен? Он и так есть. Кстати, не представляю хорошей подборки задач к нему. (Сужу по выпускному экзамену своему и по опыту проверки работ московских школ, проходивших в этом году аккредитацию. Проверяется чуть ли не оформление + проверка на вшивость — умеет ли работать с дробями, утрируя.) Если усложнить задачи — может вылиться в массовые двойки. Наверное, имеет смысл экзамен, результаты которого не имеют никакого влияния на оценки, поступление и проч. (С олимпиадами это тоже полезно — но это вроде итак есть.)

>>В этой ситуации даже синтаксическая геометрия — уже больше нуля.
>Больше, но бесконечно близко к нему.
Виноват, неправильно сказал. Имелась в виду реальная геометрия. Она не только только синтаксическая, и она нужна.

(Reply to this) (Thread)

>Нереально. Можно помочь самым сильным, но возможности исправить систему, калечащую людей (ведь правда наизусть доказательства учат. Со всеми /17 и без малейшего смысла. Потому что спрашивают соответственно), я не вижу. Даже учебников недостаточно.

Так я ровно эти недостатки (доказательства наизусть) и предлагаю
устранить единым федеральным экзаменом, на котором
надо будет решать содержательные задачи. На экзамене
можно пользоваться любым письменным источником информации.
Никакая зубрёжка здесь не поможет, да и бесполезна она.
У учителя появиться стимул и цель, ему будет ясно направление.
Это облегчит его задачу.

>Не очень понял, что понимается под технологией (всегда ассоциировалось у меня с тестами).
Никаких тестов. Содержательные задачи.
Единый федеральный экзамен, одинаковый для всех.

>Он и так есть.
Это какой же?

>Кстати, не представляю хорошей подборки задач к нему.
Обычные содержательные задачи. В чём проблема?

>Наверное, имеет смысл экзамен, результаты которого не имеют никакого влияния на оценки, поступление и проч.
Тогда и учиться не будут.

>Если усложнить задачи — может вылиться в массовые двойки.
Пусть оценки будут объективными. Массовые двойки —
это реальность. Надо думать, как её скорректировать.
Зачем обманывать себя бессмысленными оценками?

>Имелась в виду реальная геометрия.
А что это такое?

Я могу сказать про алгебру.
Есть маленькая книжка Гельфанда и Шеня «Алгебра»,
в которой изложена вся содержательная часть школьного курса алгебры.
А в школе содержимое этой книжки проходят 5 лет.
Большая часть времени уходит на бесконечное бессмысленное повторение.
С геометрией ситуация такая же.

(Reply to this) (Parent)

>На экзамене можно пользоваться любым письменным источником информации.
Да, это конечно.

>А что это такое?
Геометрия, которая реально преподаётся в школе.
>С геометрией ситуация такая же.
Нет. Большая часть времени уходит на обучение решению задач, и я бы не сказал, что это совсем бессмысленно (по крайней мере, там, где учился. В другой школе того же города сейчас ставят тройку только за «правильную» запись «дано», а за её отсутствие строго карают. Ах да, ещё их учат, что значок «» устарел ☺). Может быть, конечно, что эти задачи уже малоактуальны, но, по-моему, они прививают некоторую культуру.

>Тогда и учиться не будут.
«Бескорыстный» экзамен я предлагаю вдобавок к обычным, а не взамен.
>Это какой же?
Чем плохи выпускные экзамены?

>Пусть оценки будут объективными.
И что же, всех, кто в неподходящее время учится, — на 2-ой год? (С «бескорыстным» экзаменом этот вопрос не возникает).

>Обычные содержательные задачи. В чём проблема?
В том, что от задач, несоответствующих уровню учеников, будет мало толку.
(Разве что объявить: мол, через 3 года все выпускные сделают уровня вступительных в НМУ/СпБГУ/… так что все срочно начинайте учиться по-человечески, ведь всех задолженников мы отправим на демократические стройки страны)).) На «гробах» большинство ничему не научится, а на подготовке будут зубрить алгоритмы решения уже встречавшихся задач.

Я согласен, что если бы те, кто могут реформировать образование, хотели чего-то осмысленного, то можно было сделать много полезного. Однако сослагательное наклонение тут не зря. Задача, по сути стоит так: в условиях давления сверху и со стороны СМИ спасти российское образование силами только тех немногих преподавателей и учёных, кто может и хочет.
Иначе говоря, чтó должны делать те совершенно конкретные люди, кто мог бы помочь? (Надо ещё учитывать, что хорошее знание предмета ≠ умению рассказать его, что первый блин всегда комом, что начинающий препод легко может навредить, по себе знаю…) Интернет может помочь распространению уч.материалов, работе столичного профессора с выдающимся школьником из провинции, но панацеей не является.
Напрашивающийся вывод (печальный) — что, вероятно, не стоит и пытаться спасти массовое образование: сохранить бы хоть что-то, сиречь даёшь элитарное образование! (В первоначальном смысле этого слова.) (В первую очередь для тех, у кого родители понимают ситуацию.)
И тогда, разумеется, конкретный вопрос: как это сделать? Я боюсь, например, что через какое-то время олимпиады перестанут решать эту задачу, так как с нулевой базой ничем уже не поможешь.

С другой стороны, я не знаю, как реально обстоят дела с начальным образованием, так что, быть может, напрасно убиваюсь. Вы не знаете каких-нибудь ссылок на эту тему? (Слышал вроде бы только про свой город, что сейчас там уделяют меньше внимания арифметике, из-за чего в 6-7 классах возникают проблемы.)

Как-то так… Прошу прощения за некоторый сумбур.

(Reply to this) (Thread)

>Нет. Большая часть времени уходит на обучение решению задач, и я бы не сказал, что это совсем бессмысленно (по крайней мере, там, где учился. В другой школе того же города сейчас ставят тройку только за «правильную» запись «дано», а за её отсутствие строго карают. Ах да, ещё их учат, что значок «» устарел ☺). Может быть, конечно, что эти задачи уже малоактуальны, но, по-моему, они прививают некоторую культуру.

Так и про алгебру можно сказать тоже самое.

>«Бескорыстный» экзамен я предлагаю вдобавок к обычным, а не взамен.

Тогда никто не будет его сдавать.

>Чем плохи выпускные экзамены?

Тем, что задачи к ним составляет непонятно кто.
Тем, что проверяет работы тоже непонятно кто.

>И что же, всех, кто в неподходящее время учится, — на 2-ой год? (С «бескорыстным» экзаменом этот вопрос не возникает).

Система будет применяться к новым классам. Старые будут
доучиваться по старой.

>В том, что от задач, несоответствующих уровню учеников, будет мало толку.

Задачи можно сделать простыми, но содержательными.
Вступительные экзамены в СПбГУ синтаксические.
Вступительные в НМУ, кажется, отменили.

Элитарное образование у нас когда-то было — матклассы,
в которых преподают математические студенты и аспиранты.
Сделать его сейчас — несложно.
Думать нужно о массовом образовании.

В моё время (поступил в школу в 1992 году) дела с начальным
образованием обстояли плохо. Сейчас они вряд ли улучшились.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Здрасьте! Я придумал план короткого эффективного вводного курса в прикладную математику для неподготовленных заинтересованных людей:

1. Понятие представления (representation)
2. Понятие кодирования
3. Требования к знакам: отличать один от другого, уметь определять
одинаковость, отделять один от другого (в смысле, рядом написанные)
4. Дедуктивный аппарат, теории
5. Интерпретация теорий, константы
6. Переменные, возникновение переменных как интеграция уровня
метности в пропкалке, отличие переменных от констант; кванторы
подстановка, occurs check
7. Здравость, полнота, непротиворечивость
8. Proof Theory
9. Model Theory
10. Что такое существование
11. Что такое истина
12. Искусство доказательства

(Reply to this) (Thread)

Это введение не в прикладную математику, а в математическую логику.
Я не вижу существенных отличий от стандартного курса.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Алгоритм деления - алгоритм для полиномов над целыми числами, опущенный на целые числа по морфизму вычисления в числе-основании системы исчисления, при этом степень перейдет в число разрядов, откуда получим, что мы действительно получили частное с остатком. Правильно? :)

(Reply to this) (Thread)

Попробуйте так поделить 95 на 19.
Что выдаст деление полиномов для (9x+5)/(x+9)?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

С интересом прочитал несколько веток из вашего журнала. Возникло несколько вопросов. В этой ветке такой:

Как отличить синтаксический подход от содержательного? Они же обычно эквиваленты и зависят от точки зрения на объект. А количество точек зрения зависит от уровня подготовки. При самостоятельном обучении без грамотного преподавателя получается тупик - придется перебрать несколько точек зрения, пока не определишься с более-менее удачным. Конечно наверно возможно ощутить в процессе чтения что-то не то, только вот вопрос - не то с текстом или с уровнем подготовки и возможностями человека?

Вы писали, что русский язык как чисто синтаксический предмет, вы освоили за счет чтения большого количества литературы на русском языке. Тогда вопрос, а как вы осваивали не родной английский? А сейчас, я так понимаю, немецкий? Вы в свое время, как понимаю, освоили ТеХ по Кнуту, но это ведь тоже синтаксис. Тоже относится и к языкам программирования и алгоритмам. Возможно, что все же дело и в увлечении предметом? А тогда и синтаксис не такая уж и помеха? Мне хотелось бы это понять, т.к. как я написал выше многое зависит от точки зрения на объект изучения при эквивалентных формулировках.

(Reply to this) (Thread)

Дима. В ветке о том "Куда поступать, что делать?", вы упомянули о том, что в ЛИТМО физиков учат не тому.
<Впечатления об ИТМО: Очень много времени тратится зря, учебный план состоит из бессмысленных
гуманитарных, программистских (бессмысленных также и для программистов),
физических (бессмысленных также и для физиков) курсов.

Меня это заинтересовало также и в плане физиков, т.к. тут выбор литературы на русском языке не особо велик, а физика как предмет для приложения математики наиболее первостепенный. Скажем, к примеру, есть относительно простой для понимания пятитомник общего курса физики Сивухина и гораздо менее прозрачный курс теоретической физики в десяти томах Ландау. С вашей точки зрения они безнадежно устарели - как с физической, так и математической? Что и каким образом, по вашему, должны учить физики - как с точки зрения нужной им математики, так и самой физики? Неужели в основном алгебраическую топологию, струнную теорию и тому подобные вещи? А численную математику, тервер, статистику и т.п.?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Они же обычно эквиваленты и зависят от точки зрения на объект.

В математике совершенно неэквивалентны,
как я написал выше.

>Тогда вопрос, а как вы осваивали не родной английский?

Так же.
Чтение книг, прослушивание фильмов.

>Вы в свое время, как понимаю, освоили ТеХ по Кнуту, но это ведь тоже синтаксис.

В ТеХе ситаксический подход заключается
в том, что вы тупо копируете команды
TeXа из другого похожего документа,
не понимая, что они делают.
Так, судя по всему, поступает большинство
его пользователей.

С языками программирования тоже самое.
Особенно сильно синтаксической болезнью
страдает Java, о чём можно прочитать
например здесь: http://harmful.cat-v.org/software/java

(Reply to this) (Parent) (Thread)