[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]
| Time | Text |
|---|---|
05:49 am![[info]](http://lj.rossia.org/img/imported-profile.gif){kind=small} dmitri_pavlov@lj[Link] |
Re: К дополнению В принципе, есть три разных понятия — счёт, упорядочение и нумерация. Счёт — наиболее первичное понятие. Результатом счёта является натуральное число — 0, 1, 2, … Интуитивно, натуральное число есть класс эквивалентности конечных множеств относительно равномощности. То есть 5 овец, 5 яблок и 5 ещё чего-нибудь есть равномощные конечные совокупности, следовательно, они соответствуют одному и тому же натуральному числу. При этом при счёте ничего не надо выстраивать в ряд, упорядочивание не требуется. Есть понятие упорядочивания — это когда мы вводим на множестве линейный порядок. Здесь необходимо объяснить, что любое конечное множество можно упорядочить. Интуитивно это соответствует расположению яблок в ряд. После этого можно объяснить, что натуральные числа естественным образом упорядочены. При этом слева от числа n будет стоять ровно n чисел (это тоже надо пояснить). Теперь можно сказать, что мощность начального отрезка, состоящего из чисел, меньших n, есть в точности n. Наконец, есть понятие нумерации — биективное сопоставление нашей совокупности и начального отрезка натурального ряда. Наглядный смысл здесь таков, что на каждом яблоке пишется количество яблок, стоящих слева от него. Далее, есть следующее, теперь уже очевидное утверждение: если мы установили биективное соответствие между натуральными числами, меньшими n и нашей совокупностью (то есть задали нумерацию), то количество элементов в нашей совокупности есть n. Далее, что касается аргументации с расположением яблок. Действительно, в таком виде здесь используется нумерация. Но можно определить сложение проще, как мощность дизъюнктного объединения. Наглядно это выглядит так. У нас есть два мешка яблок, и мы пересыпаем все яблоки из обоих мешков в новый мешок. Новый мешок обладает следующим свойством: каждое яблоко в нём изначально находилось ровно в одном из двух мешков, при этом у нас есть биективное соответствие — каждое яблоко из нового мешка находится в паре ровно с одним из яблок ровно одного из двух старых мешков, при этом каждое яблоко из обоих старых мешков присутствует ровно в одной паре. Теперь ясно, что если у нас другой мешок, изготовленый таким же способом, то между ними легко устанавливается биективное соответстие — их яблоки спариваются. Действительно, возьмём яблоко из первого нового мешка, перейдём к соответствующему ему яблоку старого мешка и перейдём от него к соответствующему ему яблоку второго нового мешка. (Только надо это как-то попроще записать.) Вот и получили разбиение на пары. Теперь ясно, что от перестановки мешков ничего не меняется. Также обосновывается ассоциативность сложения. Как легко видеть, здесь не требуется нумерация или упорядочивание. У меня теперь возникли трудности более фундаментального характера: как интуитивно объяснить, что такое конечная совокупность? Единственное, что я могу придумать — сказать что-то вроде «Совокупность называется конечной, если извлекая из неё по одному предмету в секунду мы за конечное время извлечём все предметы.». |
| Reply: | |