[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]
| Time | Text |
|---|---|
05:00 pm![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} dmitri_pavlov[Link] |
Изложение математики Скопилось несколько мыслей по поводу того, как можно концептуализировать и упростить а ля Гротендик изложение некоторых хорошо известных разделов математики. Теория меры должна формулироваться и излагаться на языке коммутативных алгебр фон Неймана без упоминания сигма-алгебр. Частное: Lp-пространства должны формулироваться и излагаться на языке модулярных алгебр Ямагами. Линейная алгебра должна формулироваться и излагаться на языке симметричных моноидальных абелевых категорий без упоминания координат и базисов и с полноценным использованием суперсимметрии, позволяющей отождествить понятия внешней и симметрической алгебры, а также алгебр Клиффорда и Вейля. Гладкие многообразия должны формулироваться и излагаться на языке вещественных алгебр без упоминания координат, карт и атласов. Возможно также использование языка пучков, хотя он и необязателен ввиду аффинности гладких многообразий. Изложение должно вестись с полноценным использованием суперсимметрии, в частности должно даваться концептуальное изложение дифференциальных форм как функций на многообразии суперточек, вместе с градуировкой и дифференциалом де Рама возникающими из действия группы диффеоморфизмов суперточки. Тоже самое для комплексных многообразий — только здесь уже надо использовать пучки. (Надо сказать, что теории схем сказочно повезло — для схем координаты невозможно использовать в принципе.) Алгебраическая топология должна формулироваться и излагаться на языке модельных категорий, одновременно для топологических пространств и симплициальных множеств. Гомологическая алгебра должна формулироваться и излагаться на языке модельных категорий, без упоминания резольвент, кроме как при объяснении функтора (ко)фибрантной замены. Операды должны формулироваться и излагаться на языке свёртки Дея и подстановочного произведения. Где бы теперь взять книги, излагающие перечисленные предметы соответствующим образом?… Добавление: То, что некоторые области должны излагаться по-новому, вовсе не означает, что мы должны отказываться от существующей интуиции, мотивации и набора примеров. Многие комментаторы почему-то подумали именно это. Добавление: Вопреки моим изначальным намерениям, многие комментаторы посчитали, что пост является программой по реформированию математики. Это не так, я не предлагаю никаких программ. Пост является набором изолированных мыслей по различным разделам математики. Максимум, на что я претендую — чтобы были написаны учебники, использующие такие подходы, а студентам при обучении сообщали об их существовании и давали ссылки на литературу. |
| Reply: | |