Dmitri Pavlov - Изложение математики
January 24th, 2009
05:00 pm

[Link]

Изложение математики
Скопилось несколько мыслей по поводу того, как можно
концептуализировать и упростить а ля Гротендик
изложение некоторых хорошо известных разделов математики.

Теория меры должна формулироваться и излагаться на языке
коммутативных алгебр фон Неймана без упоминания сигма-алгебр.
Частное: Lp-пространства должны формулироваться и излагаться
на языке модулярных алгебр Ямагами.

Линейная алгебра должна формулироваться и излагаться на языке
симметричных моноидальных абелевых категорий без упоминания
координат и базисов и с полноценным использованием суперсимметрии,
позволяющей отождествить понятия внешней и симметрической алгебры,
а также алгебр Клиффорда и Вейля.

Гладкие многообразия должны формулироваться и излагаться на языке
вещественных алгебр без упоминания координат, карт и атласов.
Возможно также использование языка пучков,
хотя он и необязателен ввиду аффинности гладких многообразий.
Изложение должно вестись с полноценным использованием суперсимметрии,
в частности должно даваться концептуальное изложение
дифференциальных форм как функций на многообразии суперточек,
вместе с градуировкой и дифференциалом де Рама возникающими из действия
группы диффеоморфизмов суперточки.

Тоже самое для комплексных многообразий — только
здесь уже надо использовать пучки.

(Надо сказать, что теории схем сказочно повезло —
для схем координаты невозможно использовать в принципе.)

Алгебраическая топология должна формулироваться и излагаться на языке
модельных категорий, одновременно для
топологических пространств и симплициальных множеств.

Гомологическая алгебра должна формулироваться и излагаться на языке
модельных категорий, без упоминания резольвент,
кроме как при объяснении функтора (ко)фибрантной замены.

Операды должны формулироваться и излагаться на языке
свёртки Дея и подстановочного произведения.

Где бы теперь взять книги,
излагающие перечисленные предметы соответствующим образом?…

Добавление: То, что некоторые области должны излагаться
по-новому, вовсе не означает, что мы должны отказываться от существующей
интуиции, мотивации и набора примеров. Многие комментаторы почему-то
подумали именно это.

Добавление: Вопреки моим изначальным намерениям,
многие комментаторы посчитали, что пост является программой по реформированию математики.
Это не так, я не предлагаю никаких программ.
Пост является набором изолированных мыслей по различным разделам математики.
Максимум, на что я претендую — чтобы были написаны учебники,
использующие такие подходы, а студентам при обучении сообщали об их
существовании и давали ссылки на литературу.

Tags:

(212 comments | Leave a comment)

Comments
 
From:[info]ayudug.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 01:29 am
(Link)
Когда Вы говорите "должны" что Вы имеете ввиду?
From:[info]ayudug.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 01:33 am
(Link)
Верней вопрос у меня другой. Считаете ли Вы что кому-то стоит-полезно-необходимо изучать что либо из вышеперечиленного так как Вы говорите без предварительного изучения более общепринятых изложений?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2009 - 01:42 am
(Link)
Короткий ответ: да.
Ибо это технически проще.
Интуиция же в обоих случаях используется одинаковая.
From:[info]ayudug.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 01:50 am
(Link)
Спасибо за ответ. Из перечисленного хорошо я себе представляю только пункт 3. Посему спорить или соглашаться не имею возможности.
[User Picture]
From:[info]udod
Date:January 25th, 2009 - 01:45 am
(Link)
Зачем?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2009 - 02:11 am
(Link)
А зачем мы изучаем одну теорему Стокса для гладких многообразий вместо пяти или шести частных случаев?
По той же причине.
[User Picture]
From:[info]dimpas
Date:January 25th, 2009 - 05:29 am
(Link)
без указанных 5 или 6 частных случаев теорема Стокса представляется красивым, но бессмысленным, упражнением.
Точно так же как и линейная алгебра без координат – все–таки в 99% случаев математикам надо что–то вычислить :)
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2009 - 05:34 am
(Link)
>без указанных 5 или 6 частных случаев теорема Стокса представляется красивым, но бессмысленным, упражнением.

Применения теоремы Стокса внутри математики никакого отношения к этим 5 или 6 частным случаям не имеют.
Случаи малой размерности важны скорее для инженеров и прочих потребителей математики.
К тому же, знающий общую теорему легко выведет
и частные случаи. Обратное неверно.

>Точно так же как и линейная алгебра без координат – все–таки в 99% случаев математикам надо что–то вычислить :)

В 99% математикам не надо ничего вычислять.
Вычисляют инженеры и компьютеры.

Короче говоря, всё сказанное мное относится
к тому, как надо излагать предмет для математиков,
а не для инженеров и других потребителей математики.
[User Picture]
From:[info]dimpas
Date:January 25th, 2009 - 05:58 am
(Link)
Основное применение теоремы Стокса в математике –  это теорема Грина, необходимая для комплексного анализа. Один из 5–6 случаев...

99.99% студентов не способны усвоить бескоординатную линейную алгебру, не увидев координат.
Вообще, в вашей схеме главная проблема – это что в такой форме что–то можно рассказать математически образованным людям, то есть математикам. А чтобы подготовить математика, надо его пообучать всяким частным случаем...

Кстати, есть, между прочим, трудная и красивая часть математики, прикладная математика. Там доказывают теоремы. Про алгоритмы. О том, например, как быстро некий вычислительный процесс, приближенное обращение матрицы, сойдется.
Конечно, это не про вычисления как таковые, каковые действительно делают компьтеры, а про то, как вычислять.
Если это за время вашего андерграда прошло мимо вас, это не ваша вина, а ваша беда.
Чистая математика в основном и занимается объяснением того, что нужно прикладной...

(no subject) - (Anonymous)
(no subject) - (Anonymous)
[User Picture]
From:[info]udod
Date:January 25th, 2009 - 09:31 am
(Link)
Это называется бурбакизм. Есть на свете очень мало народу, способных заглотить сначала абстрактную чепуху в максимальной общности. Но есть. Обычно человеку нужны примеры, картинки и понятные задачки. Алгебраическую геометрию разобрать на кривых и т.п. В обратном порядке, от примеров и координат к унверсальным констркукциям выходит гораздо глаже.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2009 - 09:37 am
(Link)
>Обычно человеку нужны примеры, картинки и понятные задачки. Алгебраическую геометрию разобрать на кривых и т.п. В обратном порядке, от примеров и координат к унверсальным констркукциям выходит гораздо глаже.

Только так и надо. Разве я предложил что-то другое?
Мотивация совершенно необходима и обязательна.
[User Picture]
From:[info]udod
Date:January 25th, 2009 - 10:04 am
(Link)
Ну нам не нужны схемы в большой общности чтобы разобраться с гладкими кривым. Хватит малого. Хотя я вот был потрясен возможностью изложить гомотопическую топологию пространств через бесконечное симметрическое произведение (теорема тома-дольда). Интересно как это пропихнуть в более общую гомотопическую алгебру, где бывает мало точек. Наверно можно.
[User Picture]
From:[info]dimpas
Date:January 25th, 2009 - 10:53 am
(Link)
ну как, а кто в исходном посте предлагал бескоодинатную линейную алгебру?
From:[info]2torus.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 02:00 am
(Link)
Что бы построить хоть один пример для твоих обьектов, тебе придется использовать более классические методы.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2009 - 02:10 am
(Link)
>придется использовать более классические методы.
А кто сказал, что эти методы не классические?

На самом деле, всё, о чём я говорю, уже известно минимум лет 40 (не считая операд, конечно).

Примеры конкретных объектов:

Пример из теории меры: из гладкого многообразия легко получается коммутативная
алгебра фон Неймана (надо взять унитальную *-алгебру ограниченных
функций и пополнить её в соответствующей топологии).

Пример из теории гладких многообразий: из вещественного векторного
пространства легко получается алгебра гладких функций на нём путём перехода
к симметрической алгебре и пополнения в соответствующей топологии.
Обобщение: из вещественного алгебраического многообразия путём пополнения
пучка функций и пучкования получается гладкое многообразие.
From:[info]2torus.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 05:39 am
(Link)
И что получится если ты попытаешься пополнить алгебру гладких/непрерывных функций. Когда ты будешь факторизовать по всем последовательностям Коши, может оказаться что объект пуст.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2009 - 05:44 am
(Link)
Как это пуст?
Гладкие функции плотны среди измеримых в соответствующей топологии.
При этом сами измеримые функии полны в этой топологии.
Отсюда получаем, что измеримые функции являются пополнением гладких.
From:[info]2torus.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 05:48 am
(Link)
Но это не исключает возможности, что все пусто. Ты ведь даже не построил меру, для которой положительная функция будет иметь положительный интеграл. Единственные меры, которые ты можешь построить "руками" это меры Дирака - для них все эти пределы довольно тривиальны.
(no subject) - (Anonymous)
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 25th, 2009 - 10:31 am
(Link)
>Гомологическая алгебра должна формулироваться и излагаться на языке модельных категорий,

V principe, bol'shego urdostva, chem yazyk model'nykh kategorij, i predstavit' sebe trudno. U Quillena ehto byla *zatychka*, tekhnicheskij sposob sformulirovat' soderzhatel'nuyu teoremu. A potom urody kanonizirovali i podkhvatili. Sporu net, zatychka udobnaya, narod do sikh por pol'zuetsya, v tom chisle i dlya soderhzatel'nykh teorem; no schitat' ehto fundamental'noj chast'yu pravil'nogo yazyka kak-to diko.

Gomologicheskaya algebra ona pro linearizaciyu voobshche-to.

Nahuj, nahuj ehti "model'nye kategorii"; tam, gde mozhno bez nikh, nuzhno bez nikh.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 11:12 am
(Link)
Насколько я понял все это, модельные категории нужны как
раз там. где задачи "нелинейные".:) Что касается затычки: есть понятия триангулированной категории - и модельной. Многие плюются - но без них никак.:)
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 25th, 2009 - 11:21 am
(Link)
>триангулированной категории - и модельной

Triangulirovannye luchshe. Ponyatno, chto ehto ne vsya pravda, no ponyatno, chto ehto chast' vsej pravdy. Pro model'nye zhe, u menya tverdoe ubezhdenie, chto mesto im na pomojke (v istoricheskoj perspektive, tipa). Kak i DG-kategoriyam, kak i vsyakogo roda simlicial'nym igrushkam, kak i prochim quick hacks.

Ya by tak ne rugalsya, vprochem, esli by na ehtot yazyk ne predpolagalos' perevesti *gomologicheskuyu* algebru (gde po opredeleniyu vse linejno).
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 11:36 am
(Link)
Да, модельные категории - явно не венец гомологической
алгебры.:) Хотя как обобщение резольвент - туда-сюда.:)
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 25th, 2009 - 11:43 am
(Link)
Nu est' zhe formalizm Spaltenstein'a, staryj, no otlichno rabotayushchij: h-injective, h-projective, h-injectives/projectives are left/right orthogonal to acyclic complexes, i t.d. Imeya v rukakh tekhniku lokalizacii v triangulirovannykh kategoriyakh, ispol'zovat' model'nye -- ehto kakoe-to dikoe izvrashchenie.

Voobshche, ponyatiya triangulirovannoj i model'noj kategorii ne tol'ko ne svyazany -- oni v kakom-to smysle ortogonal'ny drug drugu; vplot' do togo, chto [expletive deleted] Hovey v svoej [expletive deleted] knige pozvolil sebe ponyatie triangulirovannoj kategorii vnagluyu pereopredelit'. Znaet koshka, ch'e myaso pytaetsya est'.
(no subject) - (Anonymous)
(no subject) - (Anonymous)
(no subject) - (Anonymous)
[User Picture]
From:[info]udod
Date:January 25th, 2009 - 01:31 pm
(Link)
Идейно понимать что топологический гомотопический тип -- это не мягкая резиновая штука, сопоставленная пространству, как в школе учили, а, наоборот, очень жесткая вафелька -- было полезно. Но работать с этим следует по суровой потребности, конечно.
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:January 25th, 2009 - 01:42 pm
(Link)
Nu, a esli posmotret' na mnozhestvo Kana, chto, stanet legche, chto li?

Lyudi khotyat izbavit'sya ot kuchi musora v vide konkretnogo topologicheskogo prostranstva "otrezok", i vmesto ehtogo vvodyat eshche khudshuyu kuchu musora, po kotoroj vse ravno prikhodit'sya faktorizovat'. Radosti-to, schast'ya-to...

Nu da, ona zato schetnaya.

Vot konkretnyj primer. Tipa, popular belief sostoit v tom, chto vse problemy s otsutstviem khorshikh modelej dlya spektrov, s kommutativnym umnozheniem, schastlivo razreshilis' s vvedeniem simmetricheskikh spektrov. Na poverku zhe, edinstvennoe prakticheskoe mesto, gde ehto kritichno -- ciklicheskaya struktura na THH -- tak sdelat' nel'zya!! -- t.e. sdelat'-to mozhno, zazhav nos i ne obrashchaya vnimaniya na ehstetiku, no otvet poluchaetsya nevernyj. Poehtomu vo vsekh stat'yakh po THH po-prezhnemu ispol'zuyut staruyu zatychku, "functors with smash products".

Po mne, tak uzh luchshe s otrezkami.
[User Picture]
From:[info]udod
Date:January 25th, 2009 - 10:30 pm
(Link)
Мне, темному специалисту по точкам на плоскости и многгранникам, как то было легче представлять себе рациональный гомотопический тип, гомотопические локализации имея в виду некий представляющий их объект. В кановском виде сумашедший и бесполезный, разумеется. Есть вопрос о моделях, конечно. И не всегда интересные -- кановские, что и говорить.
From:[info]posic.livejournal.com
Date:January 26th, 2009 - 12:27 am
(Link)
Я много лет не верил в замкнутые модельные категории, сколько мне о них ни твердили; потом обнаружил, что в них верят топологи; потом решил попробовать. Обнаружил, что в ситуациях, когда без них можно обойтись, они тем не менее полезны. В том числе в совершенно линейных/аддитивных ситуациях. Утверждение о существовании модельной структуры -- это довольно сильное свойство гомологической теории, попробовав доказать которое, можно узнать много нового. А в неаддитивных ситуациях, так и вовсе. Например, кофибрантная DG-алгебра -- вполне полезное понятие, и конструкция Хинича модельной структуры на DG-коалгебрах сыграла некую роль в развитии предмета, и т.д. (Разумеется, переводить гомологическую алгебру на язык модельных категорий как основной язык никоим образом не нужно.)
[User Picture]
From:[info]dmitri83
Date:September 19th, 2010 - 03:37 am
(Link)
> U Quillena ehto byla *zatychka*, tekhnicheskij sposob sformulirovat' soderzhatel'nuyu teoremu.

А что за конкретный результат, для формулировки которого понадобилось ввести понятие модельной категории вы здесь имеете в виду?
[User Picture]
From:[info]kaledin
Date:September 21st, 2010 - 04:53 am
(Link)
Ne pomnyu uzh, za davnosti'yu, no skoree vsego ehkvivalentnost' kommutativnykh DG algebr i DG algebr Lie (racional'nuyu teoriyu gomotopij tipa). Sam Quillen v predislovii pishet, chto "the same constructions come up again and again", i chto mol, nu davajte uzh aksiomatiziruem, koli tak.
From:[info]dmitrits.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 12:06 pm
(Link)
А где прочитать теорию меры в таком изложении?
From:[info]rus4
Date:January 25th, 2009 - 05:56 pm
(Link)
Присоединяюсь к вопросу. В известных мне местах (от классического учебника Федерера до записок Сержа Иванова) теорию меры излагают иначе. Видать, это от невежества авторов, но ведь должны быть авторы и образованные.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2009 - 07:33 pm
(Link)
Я не знаю ни одной книги.
Если бы знал, не было бы необходимости вообще об этом писать.
From:[info]rus4
Date:January 25th, 2009 - 07:38 pm
(Link)
Думаю, как честный человек ты должен написать книгу. Потому что трындеть в блогах все мы умеем.
[User Picture]
From:[info]udod
Date:January 25th, 2009 - 09:46 pm

Виноват

(Link)
Точно!!!! Попались!!!! Пожалуйста немедленно заполните табличку prnd https://euclid.pdmi.ras.ru/prnd
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2009 - 10:43 pm
(Link)
Книги мне ещё рановато писать, а вот пост с изложением основных
принципов и общим наброском теории обязательно напишу.
Уже скоро.
From:[info]dmitrits.livejournal.com
Date:January 26th, 2009 - 08:37 am
(Link)
Книжка - это слишком много, а пост - это слишком мало. А небольшой обзорчик было бы полезно, наверное.
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 12:45 pm
(Link)
Большая часть алгебраической топологии ничего не выигрывает от использования модельных категорий. Нужно ли изучать симплициальные множества поголовно всем математикам вопрос спорный, но если уж изучать, то да, лучше сразу с языком модельных категорий.

Гомологическая алгебра даже формально не может быть переведена на язык модельных категорий, поскольку имеются триангулированные категории не имеющие модели. Резольвенты тоже дороги алгебраистам как вычислительный инструмент, также как координаты в линейной алгебре. (Ко)фибрантная аппроксимация не является адекватной заменой резольвент, так как обычно бывает через чур громоздка и непригодна для конкретных вычислений.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 02:20 pm
(Link)
Симплициальные множества много где вылезают. Возможно, их и можно изжить какой-то очень высокой наукой - но это будет (для многих применений) стрельба из пушки по воробьям.
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 02:45 pm
(Link)
Я за симплицильные множества! Но против их насильственного насаждения на пару с модельными категориями. В стандартных курсах алгебраической топологии близко не подходят к вопросам, где они реально бывают полезны, а пустой формализм не способен вызвать ничего, кроме раздражения типа этого.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 03:01 pm
(Link)
Да, наверное. Я-то как раз чаще общался с симплициальными объектами. чем с алгебраической топологией.:)
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2009 - 07:32 pm
(Link)
Я не предлагаю ничего насильственно насаждать.
Вот более подробное объяснение:
http://lj.rossia.org/users/dmitri_pavlov/9543.html?thread=348999#t348999
From:[info]siyuv.livejournal.com
Date:January 26th, 2009 - 08:09 am
(Link)
Конечно хорошо иметь много книжек хороших и разных. Но издание математических книг это, хотя бы от части, коммерческий проект. То что Вы предлагаете это даже не бурбакизм, а издание книг для профессиональных математиков на элементарные темы. Боюсь, что потенциальная аудитория для такого проекта не оправдает вложений.
From:[info]etre-moral-etre-sincere.blogspot.com
Date:January 25th, 2009 - 01:37 pm
(Link)
Мне кажется, что считать эти изменения реалистичными (они, конечно, реалистичны для алгебраической топологии и операд, допустим, поскольку когда дело доходит до этого, уже достаточно мало народу осталось, и можно учить как угодно, - в худшем случае студентам придётся открыть книгу) можно лишь, если иметь в виду, что тут пропущена некая часть Генерального Плана - значительную часть теперешних "неконцептуальных" подходов надо перенести в школьную программу. Возможно, это повлечёт удлиннение школьной программы на несколько лет, но ведь математики не считают, считают инженеры и компьютеры :-)

(Если серьёзно, то считаете ли Вы, что из студентов, не прошедшие в школьные годы [необходимой для реализации Вашего плана] должной муштры, не получится математиков в любом случае? Пытались ли Вы преподавать (не спецкурс, не на старших курсах) студентам-математикам вообще?)
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2009 - 07:30 pm
(Link)
Из вашего комментария следует, что вы считаете мой пост программой.
Это не так, я не предлагаю никаких программ.
Пост является набором изолированных мыслей по различным разделам математики.
Максимум, на что я претендую — чтобы были написаны учебники,
использующие такие подходы, а студентам при обучении сообщали об их
существовании и давали ссылки на литературу.

>(Если серьёзно, то считаете ли Вы, что из студентов, не прошедшие в школьные годы [необходимой для реализации Вашего плана] должной муштры, не получится математиков в любом случае?

Нет, не считаю.

>Пытались ли Вы преподавать (не спецкурс, не на старших курсах) студентам-математикам вообще?)

Да, преподаю линейную алгебру студентам в UC Berkeley.
Всё в координатах, конечно.
Студенты не знают, что означает словосочетание if and only if.
From:[info]etre-moral-etre-sincere.blogspot.com
Date:January 25th, 2009 - 07:38 pm
(Link)
Ну вот так получилось, что Ваш пост оформлен в стиле программы, и потому естественно его так и воспринимать. Если его надо читать как "хорошо бы, чтобы кто-нибудь написал книжку о линейной алгебре с позиции (нужное вставить)", то это всем хорошо понятно, и обсуждения со взаимными переходами на личности не случилось бы.

А книжки написать - дело хорошее, кто спорит.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2009 - 07:41 pm
(Link)
Сейчас сделаю добавление.
[User Picture]
From:[info]akater
Date:January 27th, 2009 - 02:09 pm
(Link)
> Студенты не знают, что означает словосочетание if and only if.

Что, буквально так? А сколько им лет?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 27th, 2009 - 06:35 pm
(Link)
По крайней мере один не знает.
Им около восемнадцати-девятнадцати.
From:[info]ivansorokin.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 01:45 pm
(Link)
Мне не знакомо ни одно слово написаное выше и я не являюсь выдающимся педагогом. Но всё-таки хочеться высказаться. :-)

На мой взгляд более понятным является изложение от частного к общему.

Например: "Вот смотрите такая задача. Как её решать? Непонятно. А вот смотрите, что предложил тот-то тот-то. (Много удивления). Теперь мы умеем решать такого рода задачи."

Такого рода материал как правило запоминается лучше. И не возникает ощущения, что это полная бредятина.

Всякое решение должно расти из задачи.
From:[info]buddha239.livejournal.com
Date:January 25th, 2009 - 02:22 pm
(Link)
Это хороший метод - но (часто) уж больно медленный.:) Например, половина современной алгебры развилась из теоремы Ферма - неужто же ее так и преподавать?:)
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2009 - 07:24 pm
(Link)
>На мой взгляд более понятным является изложение от частного к общему.
>Например: "Вот смотрите такая задача. Как её решать? Непонятно. А вот смотрите, что предложил тот-то тот-то. (Много удивления). Теперь мы умеем решать такого рода задачи."

Я, вообще говоря, ничего против этого не имею (если есть достаточно времени).
И из моего поста не следует, что я призываю учить от общего к частному.
[User Picture]
From:[info]cheltsov
Date:January 25th, 2009 - 09:10 pm

ага

(Link)
в чем проблема?
найдите позицию, скажем Гарвард или MIT,
и начинайте в таком духе преподавать.
интересно что получится :).
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 25th, 2009 - 09:36 pm

Re: ага

(Link)
Здесь, в UC Berkeley, я уже преподаю линейную алгебру.
Всё в координатах, естественно.

Я уже написал во втором примечании, что имеется ввиду:
>Максимум, на что я претендую — чтобы были написаны учебники,
>использующие такие подходы, а студентам при обучении сообщали об их
>существовании и давали ссылки на литературу.
[User Picture]
From:[info]cheltsov
Date:January 25th, 2009 - 09:57 pm

Re: ага

(Link)
так в чем проблема,
подайте на грант на написание такого учебиника,
и напишите его.
Беркли хорошее место.
From:[info]xaxam
Date:January 27th, 2009 - 09:44 pm
(Link)
Пожалуй, выражение "упростить а-ля Гротендик" достойно занесения в мемориз. Иная простота...
From:[info]dmitri_pavlov
Date:January 28th, 2009 - 03:19 am
(Link)
>Иная простота...

Конечно.
Каждому своё.
From:[info]sasha-br.livejournal.com
Date:January 31st, 2009 - 01:38 pm
(Link)
На самом деле я не понял этого замечания. Т.е. совершенно понятно, что отнюдь не все математики считают то ,что делал Гротендик простым или даже осмысленным, но по-моему
просто такова суть вопросов, которыми он занимался. Т.е. мне кажется, что с абсолютно либой точки зрения Гротендик упростил понимание тех вопросов,
которыми он занимался (что не мешает им оставаться очень сложными, просто до этого было ещё хуже). Или я что-то пропускаю?
From:[info]mikhandr.livejournal.com
Date:February 11th, 2009 - 01:11 pm
(Link)
Да, круто на вас накинулись :-).
Я ведь предупреждал насчёт моделей. ;-)
From:(Anonymous)
Date:February 21st, 2009 - 06:23 pm
(Link)
А что можно прочитать про линейную алгебру с использованием суперсимметрии?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:February 21st, 2009 - 08:19 pm
(Link)
Quantum Fields and Strings, том 1,
Deligne and Morgan: Notes on Supersymmetry,
Chapter 1: Multilinear algebra.
From:[info]zroslav.livejournal.com
Date:May 7th, 2009 - 03:26 pm
(Link)
Можно ли в таком случае получить список хороших книг по модельным категориям? Спасибо.

Боюсь, что надо самому автору писать эти вещи, поскольку разбираются в них пока немногие, а многим не до этого. Публиковать видимо надо в Архиве.

Кстати, верно ли я например понимаю, что вся теория групп может быть изложена на языке действий групп? Типа определений нормальности подгруппы, подгрупп, разрешимости, нильпотентности?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:May 7th, 2009 - 05:07 pm
(Link)
>Можно ли в таком случае получить список хороших книг по модельным категориям? Спасибо.

Там вообще немного книг.
Hovey, Model Categories --- базовый учебник.
Ещё есть хороший обзор (Dwyer и Spalinski).
Ещё одна, более подробная и более трудная для чтения книга --- Hirschhorn, Model Categories and Their Localizations.
Здесь есть более-менее полный список:
http://dodo.pdmi.ras.ru/~topology/

>Кстати, верно ли я например понимаю, что вся теория групп может быть изложена на языке действий групп? Типа определений нормальности подгруппы, подгрупп, разрешимости, нильпотентности?

Можно изложить это всё в терминах действия группы на себя.
Не очень понятно, зачем.
From:[info]samvoar.livejournal.com
Date:March 23rd, 2010 - 02:45 pm
(Link)
а где найти определение модулярной алгебры Ямагами и вообще как теорию меры строить с помощью алгебр фон Неймана?
я совершенно не ориентируюсь в науке об операторных алгебрах, поэтому был бы благодарен за точную ссылку (как кажется, это должно быть где-то в первом томе Такесаки, может есть какое-то менее монументальное изложение.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:March 23rd, 2010 - 09:04 pm
(Link)
Это должно быть во втором томе Такесаки, но к сожалению
там этого нет.
У меня есть подозрение, что второй том был написан
ещё до выхода статей Ямагами в 1992 году,
и только опубликован так поздно.

Я постараюсь в ближайшее время написать про этот подход
в своём журнале.
From:[info]samvoar.livejournal.com
Date:March 25th, 2010 - 02:06 pm
(Link)
спасибо, было бы интересно.
From:[info]vse-budet.livejournal.com
Date:December 1st, 2011 - 03:38 pm
(Link)
>Теория меры должна формулироваться и излагаться на языке
коммутативных алгебр фон Неймана без упоминания сигма-алгебр.

А есть ли возможность концептуально построить, например, brownian motion?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:December 1st, 2011 - 03:49 pm
(Link)
Да, безусловно.
В принципе, брауновское движение строится целиком
в рамках обычной дифференциальной геометрии.
From:[info]vse-budet.livejournal.com
Date:December 1st, 2011 - 08:30 pm
(Link)
Ради интереса хотелось бы научиться. А можешь посоветовать где бы почитать (или рассказать в двух словах)?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:December 2nd, 2011 - 09:06 am
(Link)
Что именно — теорию меры или брауновское движение?
Теорию меры можно начать здесь: http://ncatlab.org/nlab/show/measurable+locale
и дальше пойти по ссылкам.
Про брауновское движение есть обзор Bär, Pfäffle.
[User Picture]
From:[info]maniga
Date:July 2nd, 2013 - 02:42 pm
(Link)
перечитывал этот старый пост и заинтересовался:

> концептуальное изложение
дифференциальных форм как функций на многообразии суперточек,
вместе с градуировкой и дифференциалом де Рама возникающими из действия
группы диффеоморфизмов суперточки.

что это за подход? это как-то связано с нильпотентами/кэлеровыми дифференциалами?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 2nd, 2013 - 02:55 pm
(Link)
Связано, конечно.
Вот здесь есть краткое описание:
http://mathoverflow.net/questions/26302/two-fancy-ways-of-defining-differential-forms-how-does-one-show-that-they-are-e

Первый подход по ссылке, кстати,
тоже заслуживает изложения в общем курсе
(как и вся технология нильпотентных точек
Вэя (Weil points), которая по сути является
чётным аналогом суперсимметрии).
[User Picture]
From:[info]maniga
Date:July 2nd, 2013 - 03:03 pm
(Link)
забавно, а почему odd line наывается line? это же аналог Spec k[e]/(e^2-1), или я неправильно понимаю?
[User Picture]
From:[info]maniga
Date:July 2nd, 2013 - 03:04 pm
(Link)
Spec k[e]/e^2 конечно
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 2nd, 2013 - 05:16 pm
(Link)
Я этот объект так не называю,
но почему его так называют другие тоже понятно:
касательное расслоение тривиально и имеет слой R^{0|1}, то есть
в точности нечётную прямую.
Сам объект при этом можно рассматривать как инфинтезимальную
окрестность нуля в R^{0|1}.
My Website Powered by LJ.Rossia.org