задача и размышление
Задача. Для произвольных чисел a_1,...a_n определим числа
d_i=max(a_1,...,a_i)-min(a_i,...,a_n),
и число
d=max(d_1,...d_n).
Пусть x_1,...,x_n - любая неубывающая последовательность.
а) Докажите, что при каком-то i число |x_i-a_i| не меньше d/2.
б) Докажите, что последовательность x_1,...,x_n можно подобрать так, что при любом i число |x_i-a_i| не больше d/2.

Это была Задача 1 на нынешней международной, и это была самая удачная задача из всего варианта. А чем же она хороша?

К ней есть три подхода.
Первый: посмотреть, испугаться жутких формул, судорожно что-нибудь поделать и бросить. 0 баллов.
Второй: чем больше формул, тем больше из них можно наворочать. Ворочать, ворочать, пока не наткнешься на решение пункта а). Шансы на него так наткнуться - немалые, и за это давали 3 балла. Шансов решить таким наскоком и пункт б) почти нет.
Третий: задуматься, о чем же речь, и увидеть картинку: на координатной плоскости слева направо расставлено несколько вертикальных отрезков - "ворот". И надо пройти через все эти ворота подряд, не загибая вниз. Очевидно, единственное, что может помешать - это когда какие-то более правые ворота целиком ниже каких-то более левых (а тогда забрать вниз обязательно придется). После чего потратить, скажем, полчаса, чтобы записать эту картинку обычным математическим языком. 7 баллов.

И эти три подхода поделили всех участников на три примерно равные группы: идеальный результат для задачи. Причем многие из "хороших" участников, решивших сложные задачи, пролетели именно на этой. В частности, двое китайцев. То есть, задача успешно отделила просто натасканных от умеющих к тому же подумать. И наша команда победила именно потому, что "просто натасканных" в ней не оказалось.