ахулес и юля

Ага, я что-то от этих дискуссий про то, что дискретка - математика второсортная, чуть не офигела. Хорошо, не дали, в конце концов.

Там вохмущаются, в частности, тем, что нет формообразующих идей и великих проблем (походя отметая P=NP). Потом напишу об этом подробнее, хотя уже не раз высказывался.

Между прочим, их основной аргумент - "все это просто, не то что у нас" - легко проверить, точнее, опровергнуть. Достаточно предложить любому из них быстренько и беспроблемно разобраться в (наугад выбранной) хорошей статье по комбинаторике или около. Предлагая любую помощь в растолковывании определений и т.п. Рано или поздно истинный сноб отвечает "ну, это мне просто неинтересно/не впечатляет/все равно у нас все глубже" - но понять-то не может!

А кто может, тот обычно и не сноб, а действительно хороший профессионал.

Положим, я-то как раз говорю о том, что лично мне гораздо сложнее разобраться в статье по (обобщённой) комбинаторике, чем по "моей" математике. И аргументов "все это просто" я что-то в этой дискуссии у nikaan@lj не помню, напротив, постоянно упоминаются различные "ваши" технически сложные вещи. Так что к чему относятся слова про "основной аргумент", мне сложно понять.

Извините, значит, я плохо прочитала. :)

Я не вижу принципиальной разницы между сложностью понятий и сложностью конструкций. И повода для дискуссий в духе "кто круче" не вижу. Ну, разные области, и ладно.

ну, повод для дискуссий "кто круче" всегда, в общем-то, фрейдисткий ;)

все по-разному видели вопросы обсуждения. Кто круче - это неинтересно. Интересно - зачем, и в чём же разница между - и о том, как и чему учат. Надо ли решать задачи или надо читать тексты. И что "математичнее" - решение поставленного вопроса или придумывание нового контекста. И о многих других вещах.

от "что математичнее" до "кто круче" один шаг

Ну, я не буду Вам мешать его сделать.
Это спор о том, что прекрасней - весь мир или взгляд любимой на закате.

Sowa сказал очень много ценных вещей - возможно, Вам они и так были очевидны. Мне - нет.

Я как раз за то, чтоб не делать, и от обсуждений математиков в сравнении тщательно уклоняюсь.

Вот-вот, "что математичнее". :)

Посмотри (если интересно, что восхищает людей в комбинаторике) например книгу пруфс фром зе Бук. Там нет ничего технически сложного, но много прекрасного.

Я давно её собиралась посмотреть, всё как-то руки не доходили. Боюсь, в ближайшее время тоже не дойдут, но я запомню, спасибо.

Кстати, нет. Дон Сова там, рассказывая про основную пирамиду из шести понятий (не могу найти ссылку), говорит, что все доказательства при построении этой пирамиды тривиальны. То есть все трудности - с "врубанием" в понятия.

Ладно, облажалась. :) Честно говоря, я не вижу принципиальной разницы между врубанием в понятия и врубанием в конструкции. В смысле, не вижу, почему одно должно быть почетнее, чем другое.

Дело не в том, что почётнее, а в том, что красивее, глубже, и что лучше позволяет нам понять, как всё это устроено.

Ну, красОты и глубИны у нас вполне имеются. :)
Вообще мне эти споры кажутся довольно пустопорожними. Примерно как если бы представители двух художественных школ переругивались, чьи картины лучше, и бросались заявлениями о том, что в таком-то жанре ничего хорошего нет и быть не может.

Что лучше помогает понять устройство одного и того же можно, действительно, обсуждать. Например, разные доказательства одной теоремы. А как сравнить понимание графа и понимание многочлена?

Я не очень поняла, зачем эти два понимания сравнивать. Я о другом говорила. Вот про графы, так получается, я периодически слушаю доклады. Люди решают какие-то трудные давно поставленные проблемы. Мне же эта наука (то, о чём они рассказывают), кажется квинтэссенцией того, чем я бы не хотела заниматься в математике. (Я вполне допускаю, что в теории графов есть какие-то красивые вещи, просто я с ними не сталкивалась.) А параллельно я читаю, скажем, учебник по алгебраической геометрии, и вижу там море красот. На мой полностью субъективный вкус, первое не то что проигрывает в сравнении со вторым, но просто не может ни в какое сравнение идти.

Я не очень поняла, зачем эти два понимания сравнивать.

Я тоже не очень понял, но зачем-то этим занимаются.

Я не знаю, какие доклады ты слушаешь, насколько это интересная и важная теория графов.

Думаю, учебник по алгебраической геометрии лучше сравнивать с учебником по теории графов, а не докладами. Или не учебником, а сборником, как PFTB (там не только графы, правда). А еще лучше вообще не сравнивать.)

Мне кажется, что понимание графа и понимание многочлена никто не сравнивал.

Я же не специально сравниваю. Оно само получается. Что-то нравится, а что-то -- нет. Мне кажется, что разные вкусы у людей -- вещь вполне естественная.

А что это за "основная пирамида из шести понятий", не подскажете?

Я не помню. Но там была какая-то триангулируемая ждыдва категория или еще какая-то штука, на самом верху :)

Триангулируемые категории я действительно упоминал в последнее время.

Но вот что такое основная пирамида из шести понятий, я никогда не слышал и не мог об этом говорить.

Может быть, Вы имели в виду не sowa@lj'у, а какую-то другую Сову? В таком случае прошу прощения.

Подсказали добрые люди:
Цепные комплексы, группы гомологий, производные функторы, спектральные последовательности, производные категории, триангулированные категории - пример естественной цепочки понятий. Почти все доказательства, встречающиеся вдоль этой дороги, тривиальны, в противоположность определениям.

А! Это все-таки мое. Но где же тут прамида? Где сказано, что она основная?

В той ветке речь идет о преподавании математики, а не собственно математики. Я привел пример ключевых идей для нескольких важных разделов математики (Вы можете считать их неважными, но факт остается фактом - ими занимаются, есть много людей, которые хотят их выучить), которые нельзя выучить "задачным методом". Действительно, там все трудности связаны с "врубанием в понятия". Никаких сравнений в этом треде не делалось.

Я вообще-то надеялся, что по этой цепочке, особенно учитывая, что "доказательства тривиальны", смогу в разумное время добраться до уровня, когда я хоть что-нибудь понимаю (уж не требуя, чоб чо-то смог сделать новое, пусть хоть понять).

Я думаю, сможете, если не будете сильно сопротивляться. :-) Но изучать только эту цепочку, без приложений (того, для чего она придумана), будет скучновато.

> будет скучновато.
А Вы можете коротенько, на пару абзацев, сказать, куда она прилагается, и почему это интересно, и чем она там помогает, чего нельзя сделать другими средствами? Не для студента.
Примерно такого типа: "кто хочет узнать что-то об А, ему хватит и групп гомологий, а для Б надо лезть до производных категорий"

Дать обзор, грубо говоря, половины математики в паре абзацев не получится.

Давайте, я Вам предложу на выбор пару результатов, один из алгебраической комбинаторики, другой из дифферециальной топологии.

1. n!- гипотеза: http://math.berkeley.edu/~mhaiman/ftp/newt-sf-2001/newt.pdf. В этих заметках Хэймана, доказавшего эту гипотезу, есть и история, и мотивировка, и мотивировка использования продвинутой алгебраической геометрии для решения (в частности, необходимости использования именно схем, а не просто алгебраических многообразий).

2. Теорема Брискорна: пересечения гиперповерхностей в C⁵, заданых уравнениями a² + b² + c² + d³ + e^6k-1 = 0, с единичной сферой в C⁵, при k = 1, 2, ..., 28 задают 28 попарно недиффеоморфных 7-мерных многообразия, каждое из которых гомеоморфно 7-мерной сфере. Любое многообразие, гомеоморфное 7-мерной сфере, диффеоморфно одному из них.

Доказательство требует большого куска алгебраической и дифференциальной топологии. Из указанной цепочки, пожалуй, включая спектральные последовательности.

Первую сейчас читаю. Представления симметрической группы - действительно вещь красивая, с какой стороны ни посмотри. А теперь в нее есть и "царский путь": статья Вершика и Окунькова (http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=znsl&paperid=840&what=fullt&option_lang=rus).

Вторую еще даже не гуглил. По внешнему виду кажется, что это красивое (олимпиадное) навершие на более идейную часть: классификацию с точностью до диффеоморфизмов многообразий, гомеоморфных S_7. Что там получается: 7 видов шапочек, любые две из которых можно соединить в сферу? А почему 7: потому что в других размерностях нет классификации, или просто в других не придумали такое красивое представление "в одну формулу"?

Про сферы: я постарался выбрать четко формулируемый красивый результат. 7 - потому что это первая размерность, в которой есть многообразия, гомеоморфные, но не диффеоморфные сфере (возможно есть еще в размерности 4, но это открытая проблема, по общему мнению, имеющаю другую природу, как это ни странно). Классификация гладких многообразий, гомеоморфных сфере, есть во всех размерностях, кроме 4-х. Но я не смог бы сформулировать ее в одном абзаце. Формулы тоже есть в других размерностях, хотя и, если я правильно помню, не для всех "экзотических сфер" - многообразий, гомеоморфных, но не диффеоморфных сфере. Формулы появляются из теории особенностей (алгебраических многообразий, или гладких отображений).

Это была попытка заинтересовать. Для меня в этой теореме интересны оба аспекта: существование и классификация экзотических сфер; возможность указать простую явную формулу.

Я, возможно (даже наверняка), сильно испорчен Рукшиным, но на экзамене по гомологиям, решая задачу, стал понимать гомологии, кажется, лучше, чем до того (честно все выучив, что нам рассказывали.)

Вероятно, увы.

Должна же быть хоть какая-то польза от экзаменов.

А что была за задача и что Вы в результате поняли?

Кажется, надо было понять, почему не работает теорема Уайдхеда, если требовать только тривиальность всех гомологий, но не требовать тривиальность фундаментальной группы.

Я в итоге наверно обманул экзаменатора, сославшись (не специально) на неверный факт про конечные группы, который его очень порадовал. А потом только понял, что можно заклеивать пленками любые слова и достаточно любую простую группу взять. Это видимо стандартная совсем вещь, но я ее не понимал.

Oops! Я ничего не понял. Какая теорема Уайтхеда?

Наверное, это про то, что если у односвязного пространства все гомологии нулевые, то оно стягиваемо. То есть теорема Уайтхеда о гомотопической эквивалентности отображения, индуцирующего изоморфмизм гомотопических групп, плюс теорема не помню кого (тоже Уайтхеда?) о связи первой нетривиальной гомотопической группы и соответствующей группы гомологий.

Такая интерпретация мне приходила в голову, но я бы подождал ответа rus4@lj. Все-таки это не теорема Уайтхеда, а ее следствие, и то, что в этом следствии обращения в ноль гомологий недостаточно - это вопрос не на гомологии, а на фундаментальную группу.

(Связь первых гомологий с фундаментальной группой - это Пуанкаре.)

Я имела в виду как раз не первые, а начиная со второй.

Я про эту интерпретацию подумала потому, что это согласуется с тем доказательством, про которое Федя рассказывает. Подождём ответа :-)

"Я имела в виду как раз не первые, а начиная со второй."

http://flaass.livejournal.com/474961.html?thread=2738513

Что-то я запутался. Не вижу возможности согласовать эти два высказывания.

Ссылка на тот мой комментарий, на который ты отвечаешь, так что теперь я не поняла...

Если должна была быть ссылка на мой предыдущий комментарий ("о связи первой нетривиальной гомотопической группы и соответствующей группы гомологий") -- то я имела в виду (и действительно криво это выразила), что если все \pi_k (X) = 0 при k≤n-1, n≥2, то \pi_n (X) = H_n (X).

Да, ссылку я не ту дал. И прочитал невнимательно. Теперь понял. Это теорема Гуревича. Она тут (при этой интерпретации) вовсе не нужна, как мне кажется.

Для построения примера, который был нужен Феде, не нужна. А для доказательства стягиваемости такого пространства разве не нужна? А как тогда от тривиальности гомологий перейти к теореме Уайтхеда?

Какого пространства?

Которое в утверждении "если у односвязного пространства все гомологии нулевые, то оно стягиваемо". То есть то утверждение, про которое Феде надо было доказать, что из него нельзя выкинуть односвязность.

А, ну это смотря что называть теоремой Уайтхеда. Уайтхед много теорем доказал. Для изоморфизма в гомологиях при условии односвязности вроде бы нет отдельного названия.

Может, Федя все-таки сам расскажет, чего он там понял?

Он уже рассказал, что за задача.

Слушай, а ты его официальный представитель, или как? Он сам может ответить?

Мой вопрос заключался в том, что он понял в гомологиях. Ответа на него я не вижу даже с этим комментом.

Я подумала, что ты его коммент не увидел, потому что это был ответ на мой. Поэтому дала ссылку. :-)

А ответ вот, наверное:
"Это видимо стандартная совсем вещь, но я ее не понимал."

(Я не пыталась отвечать за Федю. Просто было интересно попробовать угадать, что он имеет в виду. И топологию немножко вспомнить :)

Я, на самом деле, коммент видел. Но он не мне, а тебе, и на мой вопрос все равно не отвечает.

Не получается угадать. Это - вопрос на фундаментальную группу, как я уже говорил. А Федя говорил, что он понял что-то про гомологии.

"Для изоморфизма в гомологиях при условии односвязности вроде бы нет отдельного названия"

Теперь я не понимаю, что имеется в виду... Если два пространства односвязны, и отображение индуцирует изоморфизм в гомологиях, то это же не обязательно гомотопическая эквивалентность?

Я с испугу даже в книжку полез. Обязательно. Хэтчер называет это "полезным вариантом теоремы Уайтхеда".

А, поняла: тогда конус отображения односвязен и ацикличен, так что к нему можно применить обычную теорему Уайтхеда, а потом вернуться к исходным пространствам. Ну вот, я уже получила пользу от этого разговора.

Отлично, пользу от экзамена по гомологиям можно считать установленной.

Странно: у Хэтчера эта теорема в такой формулировке, а у Фукса-Фоменко ещё дополнительно требуется, чтобы π₂(X)→π₂(Y) было эпиморфизмом. И в относительной теореме Гуревича у ФФ аналогичное требование.

Из общих соображений, я доверяю книжке Хэтчера больше, чем книжке Фукса-Фоменко. Тем более, что они не противоречат друг другу в этом месте. Опять пришлось лезть в литературу и проверять свои представления.

Такая теорема есть даже для неодносвязных пространств, только она уже не Уайтхеда. Нужно потребовать изоморфизм в гомологиях со всеми локальными коеффициентами. В односвязном случае это сводится к обычным коэффициентам.

А как эта теорема называется (или где её можно посмотреть)?

Я думаю, никак не называется. Например, здесь:

Hausmann, Jean-Claude / Husemoller, Dale
ACYCLIC MAPS
L'Enseignement Mathématique, Vol.25 (1979).

Есть в сети в открытом доступе.

Спасибо!

да, именно так. Разве это не Уайтхеда?

Я не знаю, как это называется. Спроси лучше у Совы.

Ой, ну вы тут наобсуждали) Да, теорема Уайтхеда это что односвязное пространство с тривиальными гомоллгиями стягиваемо. Понял я действительно больше про гомотопии, но если честно, изначально я даже не понимал, как строить, чтобы все высшие гомологии обнулялись. В общем месседж мой в том, что и про гомотопии, и про гомологии можно понимать (в том числе - что это такое) решая задачи.

Это обычно не называется теоремой Уайтхеда - это очень специальный частный случай. Ну да ладно, в конце концов, с помощью Марины и этого коммента, я понял, о чем идет речь.

Я, конечно, не знаю, что у Вас было в курсе, но если он был построен стандартым образом, то я назвал бы это "вопросом на понимание", а не "задачей".

http://nikaan.livejournal.com/116904.html?thread=925864
можно найти так (http://blogs.yandex.ru/search.xml?text=author%3D%22sowa%22+%22%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5+%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8%22&ft=blog%2Ccomments).

О, спасибо!
И прошу прощения: я сам попросту сначала поленился, а потом не успел :)

Не думаю, что это так. Например, вот блестящая, на мой взгляд, комбинаторика. Много такого собрано в книге Proofs from the Book. Разобраться в этом совсем не трудно. Трудно, на мой взгляд, это придумать.

Так ты и не сноб, а хороший профессионал. :)

Я имею в виду, что не согласен с твоим утверждением, будто в хорошей комбинаторной работе нелегко разобраться. Легко бывает разобраться, и разобравшись легко сказать, что "ничего особенного".

Э... Ну, да, возможно. Иногда. Proofs from the Book действительно хороший пример.
Но по-моему, "ничего особенного" о подобных результатах могут сказать только люди изначально предубежденные.

(Прошу прощения у автора за оффтопик.) Кстати, все-таки. Если текста не будет, дело житейское, никаких обид. Ждать ли его?

Proofs from the Book (не целиком, конечно) не читал, наверное, только ленивый.

Ну не знаю, вот Марина говорит, что не читала, а только собирается. Я не считаю это чем-то обязательным.

PFTB тоже очень личный текст, как и статьи Гауэрса и Атьи. Некоторые вещи там явно лишние.
А вот некоторых красивых изоморфизмов там, вроде, нет. Например, почему касательные расслоения - это то же самое, что проективные модули. Или что кубические кривые - то же самое, что торы в С2.

Согласен. Вообще там явно перекос в сторону того, чем занимался Эрдеш. Впрочем, авторы об этом пишут. Что это как бы памятник. Если бы кто написал алгебраическое, топологическое и пр. продолжение (или ответ), я бы с удовольствием почитал.

Дык, в этом и проблема! "Они" не считают нужным стараться и изложить на языке простого здравого смысла, как в PFTB. Боюсь, у них в результате приток юных сил уменьшается, а это очень жалко.

По моим наблюдениям (в Питере) не уменьшается. В физматклубе доказательство теоремы Семереди у меня слушало два человека, а курсы по топологии и алгебраической геометрии пользуются большим успехом. Ну, может это от того, что я плохо рассказывал.

Теорему Семереди я и сам до сих пор не осилил. Все ж предпочитаю алгебраическую теорию графов и комбинаторику.

Да я тоже не очень осилил. Ну, разобрал доказательство, в ряде мест улыбался, что красиво, здорово. Но как это работает --- не понимаю. Пересказать без текста не смогу.

Дык, проблема не в этом. В Proofs from the Book выдерживаются серьезные ограничения сверху на длинну доказательств и на подготовку читателя.

Есть книга Фукса и Табачникова, которая является негласным конкурентом. Она в два раза длиннее, а глав там немного меньше. Выбор тем совсем другой.

Теорию Галуа в одной главке всяко не изложить. Но ведь есть книги, небольшие, очень ясно написанные, с мотивировками, с обсуждением истории - почему их нельзя читать? Есть много очень красивых вещей размером с небольшую книжку и требующие некоторой подготовки. Например, теория Морса в изложении Милнора. Если бы образование не было столь сильно перекошено в сторону анализа, большинство математиков владело бы предварительными сведениями, нужными для чтения этой книги.

Группы автоморфизмов конечных расширений полей - почему не изложить в одной главке? Особенно в сети, где можно давать объяснение сути, а на технические детали доказательства давать линк. Ленивый пойдет по линку, неленивый сам восстановит.

Или, например, один абзац про теорию Морса. Чтобы человеку, его прочитавшему, 1: захотелось узнать более точно хотя бы формулировки; 2: стало очевидно, что ее придумали не из спортивного интереса, а по существу.

Потому что про группы автоморфизмов конечных расширений полей можно прочесть в любом учебнике алгебры, и так и не понять, к чему бы это все. Если Вам нужно краткое изложение в таком стиле, то лучшим вариантом являются старые лекции Артина, недавно переведенные на русский. Коротенькая книжечка. Но она для тех, кто уже знает, что ему нужна теория Галуа.

Для тех, кто не знает, лучше мотивированное изложение, показывающее, как теория Галуа возникла из решения уравнений в радикалах. В идеале это желательно продолжить применениями к теории чисел.

Теория Морса в двух словах занимается вопросом о том, сколько критических точек (точек, в которых обращаются все частные производные) может (должна) иметь функция, заданная на данном многообразии. Бесконечномерный вариант применяется к изучению вопроса о том, сколько геодезических соединяют две данные точки на римановом многообразии. Спортивного интереса там было и остается ноль.

Меня несколько удивляет такой подход: заинтересуйте нас одним абзацем. Даже полистать книжку лень. Это мне напоминает популярные методы превращения в тысячников в ЖЖ - написать коротенький скандальный пост, и дело сделано.

Я думаю, что одного абзаца и у Пушкина (поставьте, если хотите, сюда другого автора) недостаточно, чтобы увлечься.

> мотивированное изложение, показывающее, как теория Галуа возникла из решения уравнений в радикалах.

Само собой, с этого и надо начинать. И, как побочный результат, в какой-то момент походя доказать, что у полинома n-й степени общего вида группа Галуа симметрическая.

Ну это же развлекательная книжка. У Марины руки пока не дошли. Читать ее подряд как-то неправильно - лучше иметь ее под рукой, и почитывать, когда есть время. Или что-нибудь из нее вставить в какой-нибудь курс для украшения. Я лемму Гесселя-Вьенно как-то в курс включил, прямо по Proofs from the Book.

Опять все не так.

Этим никто не возмущался. Эти качества отметил Т. Гоуэрс, как характерные для нескольких разделов математики, в том числе теории графов. Это часть его определения второй культуры, а не моей критики этой культуры.

P=NP Гоуэрс отметил как единственное исключение.

Мне кажется, что эссэ Гоуэрса прекрасно написано, независимо от того, соглашаться с его выводами или нет, и что совсем нетрудно и стоит с ним ознакомится, прежде чем приписывать его идеи разным ЖЖузерам, добавляя при этом эмоции ("возмущаются"), которых никто не высказывал.

"В 10-11 классах была теория Галуа етс. Довольно круто, у нас попроще было, сколько помню.

Ага. Даже групп толком не было, меня обучал персонально Саша Боровик, когда сидел ночным воспитателем. Отбой откладывался на полчаса: я ему рассказывал, что надумал, а он мне говорил, что изучить дальше.

Ну, ведь у нас в наше время контингент отнюдь не с шестого класса начинал нормально учить и решать; скажем, у меня в Зарафшане три из четырех теток понимали учебник физики изрядно хуже меня, одна совсем не понимала. Математичка получше была.

В Н-ске я кое-что сам читал, но задачки не решал, идея была, что прорубать текст - почти то же, что задачки; а в институты ходил в Цитологию, на голографический кружок и в ИЯФ на пятый этаж к Савченко.