flaass: Кролики - финал. Andante sostenuto.

Кролики - финал. Andante sostenuto.
Можно подводить итоги.
В самом сильном виде заключительная задачка звучит так:

Четыре сферы по циклу касаются друг друга. Доказать, что четыре точки касания лежат на окружности, и что через эту окружность можно провести сферу, ортогональную всем четырем сферам.

И, увы, от всех чайников и кроликов остался лишь маленький сапожок:

Устроим инверсию с центром в одной из точек касания. Получим две параллельные (скажем, горизонтальные) плоскости, и две сферы. Проведем вертикальную плоскость через центры этих двух сфер. Дальнейшее очевидно.

Идти было интереснее, чем дойти. Часто бывает.

(Добавить комментарий)

ppetya@lj
2003-11-25 06:37 (ссылка)

Скопировал вам, очень люблю вот эту задачу.

В трехмерном пространстве зафиксируем три разные сферы --- A(1), A(2), A(3). Пусть каждая из них касается остальных двух.

Будем строить последовательность сфер B(1), B(2), B(3),... Сфера B(1) касается всех трех сфер A(1), A(2), A(3). Наглядно очевидно, что такие сферы образют однопараметрическое семейство. Зафиксируем одну из них (общего положения). Сфера B(2) касается со сферами A(1), A(2), A(3) и сферой B(1). Если подумать, то таких сфер ровно две, возьмем одну из них.
Сфера B(3) касается со сферами A(1), A(2), A(3) и сферой B(2) и НЕ совпадает со сферой B(1).
И так далее.. -- сфера B(n+1) касается со сферами A(1), A(2), A(3) и сферой B(n) и НЕ совпадает со сферой B(n-1).

Утверждение --- B(7) = B(1), то есть определенная таким образом последовательность периодична с периодом 6.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	flaass@lj 2003-11-25 06:42 (ссылка)
	Угу, красиво. И тот же самый прием сразу решает. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	ppetya@lj 2003-11-25 06:46 (ссылка)
	Конечно. Всегда полезно понять, какая группа преобразований сохраняет объекты задачи. И воспользоваться, наконец, этой группой. А эта мысль не "маленький сапожок" уже. (Ответить) (Уровень выше)