проверка на прочность - 3
До сих пор все было гладко. Неоднозначность в выборе геометрий - вопрос вне математики. Неоднозначность в выборе арифметик - вопрос легко разрешимый, все знают, какая арифметика из них настоящая, а остальные даже и называются: "нестандартные".
А вот теперь...

3. Гипотеза континуума.


Когда мы переходим от арифметики к теории множеств, ситуация меняется. Теперь, если нам встретится неразрешимое утверждение, нам некуда апеллировать: современная теория множеств исчерпывает математическую интуицию человека! Все, что мы можем придумать и доказать, мы можем выразить на языке теории множеств. С точки зрения нашей интуиции вполне возможно, что весь "идеальный мир математики" основан на множествах.
Поэтому, когда Коэн доказал, что отрицание гипотезы континуума не противоречит аксиомам теории множеств (а еще раньше Гедель доказал, что и она сама не противоречит), вопрос повис. Даже если мир математики реально существует, мы никогда не узнаем, верна ли в нем гипотеза континуума. Разве что эволюционируем непонятно куда, получим какие-то неведомые новые интуиции.

Как тут оставаться закоренелым платонистом? Легко:) Но об этом потом.
А пока - ссылка на очень интересную статью Сахарона Шелаха - может быть, самого сильного математика современности.


(to be continued