в теологию или мораль, но вообще-то рассуждение, обосновывающее важность матожидания при выборе поведения, предполагает многократное повторение испытания и суммирование результатов. (Возможность суммирования делает осмысленным выбор шкалы вознаграждения - иначе нет выделенных координат.)

так что в примере Паскаля матожидание не по делу сразу по нескольким причинам

Шкробиус отмечает, что там еще вовлечена бесконечность.

Так что, да, Паскаль был чистый гений, но тут, воля ваша, что-то несуразное придумал.

имеет смысл даже в отсутствие выделенной системы координат на (одномерном) "многообразии вознаграждений" - в некотором смысле тут нужно меньше структуры, чем для сложения.

Кстати, я немного посмотрел обсуждение по ссылкам - и как-то там всё больше какие-то разговоры про utility и прочее растекание мыслью (или мышью) по древу

Мне понравились соображения Шкробиуса. Обсуждение по ссылкам, конечно, очень неровное.

Unless you are the strict frequentist, the expectation value is set by your probability space rather than any trials. All that you achieve through the trials is obtaining a progressively better estimate for this expectated value, which in itself has nothing to do with the trials themselves.

If you do not like "utility" that's OK, but it only means relative satisfaction: how it changes when the reward increases. This is a matter of some importance here, because inifinite utility would violate the continuity axiom, see http://plato.stanford.edu/entries/pascal-wager/notes.html#6
So it is indeed important that it is infinite. The games with infinite payoffs can't be played in the same way as other games.

I was unable to explain well the (trivial) thing that I tried to explain.

To speak about averages, we need some numbers that can be added. So to use the strategy of maximization of the expectation of the reward, we need to measure reward by numbers. Imagine we somehow agreed to assign numbers to different rewards: the bigger the number, the more attractive the reward is. Now somebody comes with other scale: his measure of reward is the square of our measure. There is no reason to say that one scale is "more truthful" than the other one, unless we can add somehow the rewards (as in case they can be accumulated like money). But the expectation of the square is different from the square of the expectation.

Imagine a lottery in a restaurant that (for a fixed fee) randomly chooses a dish type and the amount of this food you are allowed to eat. Would you expect that there is a kind of "dish value" for each food type so that the attractiveness of the offer should be measured by the expected value of this quantity? Probably not, since the pleasure in eating some would has no natural number scale

Point taken, but that's exactly what St Peterbourg's paradox is about: suppose you earn W points, what function of W need be considered as the reward, in terms of feeling of satisfaction. Bernoulli's own solution is that human mind considers log(W) rather than W as the reward. In deciion theory, it is postulated that the reward should obey the continuity axiom. You can have your own idea what it might be, if you can make this idea logically consistent. People have thought about it. We do have intuitions about the rewards, and these can be formalized. On one hand you say that you find the talk about utility uninstructive. The next moment you are engaged in ad hoc speculations how the utility needs be constructed.

As for your general argument (if it is not a series of trials, then it is meaningless), I do not think this is much of an objection. Observe that no one had specified what "eteranal damnation" is supposed to be for this particular wager. Imagine that the eternal damnation = suffering in hell for 10^N years, calculating the empirical reward value, wiping out all of your memories after the moment you made the wager, and then returning you in time to the exact moment when you made this wager, so that you have another independent trial. Following the trial, you are returned all of your memories. The number N can be increased with the number of trials, to make the game more interesting. This scheme perfectly addresses all of your concerns. Does that really change anything? If it does, I fail to see how. I am not criticising, I am just trying to understand your point.

1) The situation: there are "lottery tickets" that promise different rewards depending on the future random events.

2) THe behavior: assign to each reward some number (of points) and to each event some number (probability), and them make choices between different tickets (offers) depending on the computed expectation value.

3) One can argue that this behavior is "rational". One such argument, for the case where the points are cumulative (rewards can be added in a natural way) and the situation is repetitive, is based on the frequency interpretation of probability.

[Digression: Probably there is some other argument saying that this kind of behavior is necessary if one has a market for all types of options [=tickets] with almost equal selling and buying prices]

Outside of these two situations,do you see any other theoretical reasons to believe that there should exists such numeric measure of reward?

4) One can also claim that this is not a theoretic necessity but an experimental fact: it just happens that people behave like that. Probably there is a literature in psychology about that, I am not an expert at all, but I doubt one can get a reasonable confirmation for such a hypothesis, since one needs people who have strong feelings about the preference of the options (in fact, I doubt even about transitivity), that have no mathematical background, otherwise they can just compute the probabilities to make decision, etc.

1) sure
2) you have to play in ignorance of one of these probabilities. If it is 0, you are screwed. So you 0 hypothesis is that it might be small, but not infinisimately small. A fair analogy would be tossing a coin. You know that the distribution of mass in a coin is not uniform, and there is a bias, however small. You can base your betting strategy on this fact.
3) I've started this thread with observing that your argument makes any sense only if you accept the frequentist concept of probability. I do not, and perhaps so do the majority of mathematicians, hence the popularity of the axiomatic approach. I'd argue that it is rational.

Only a very general argument: in biology, there is a reward towards genetic immortality (passing your genes to you progeny) and a measure of such reward (fitness). So, at the conceptual level, it is not entirely impossible.
4) Experimental facts need to be explained, too. As long as the agents have preferences, there should be some basis for such preferences. We have no idea how decisions are being made in humans, but understanding how bacteria make some choices is finally coming together. It is not unlike prospect theory. One of such decisions has some resemblance to Pascal's wager: acquision of competence, the ability to process other bacteria's DNA. When the colony starves it sometimes commits mass suicide to prevent the occurence of mutants that are good only at reprocessing dead or even live bacteria through cannibalism, for food. They are not good at anything else (because what you have there is rapid evolution for cannibalistic traits), so they would not survive when the conditions are better and the situation is back to normal. However, if nothing is done they would rapidly prevail (it is just like cancer). So 99% of bacteria kill themselves, release their DNA, and the remaining 1% processes this DNA and takes the snippets into its genome, preserving the genetic variety of the colony. This ability is called competence. You can say that they are in heaven. It is a mighty bet. Perhaps it is the highest stakes bet a bacteria can make. The way in which this bet is being made resembles the way in which the decision theory envisions decisions being made. Perhaps there is more to it than just-so-stories.
5) In my model, the memory is restored in hell, were the cumulation occurs, so this objection is irrelevant. In any scehem of independent trials, you calculate the rolling mean after the trial, right?

it seems that I completely failed to explain my point (and your interesting stories are about different things)... Thanks anyway

second paragraph: wiping of the memory makes the reward non-cumulative and the argument in favor of expectation fails here, too, so there is indeed no difference.

Где-то читал, что веревка и вера родственные слова и происходят от индоевропейского слова, которое означает связь, соединение. Т. е. нельзя просто сказать "я верю" и исполнять все формальные предписания, если нет непосредственной связи с богом, все старания в его глазах ничто, рациональная вера бессмыслена.

"Христос мог родиться хоть тысячу раз в Вифлееме, но если Он не родится в тебе, то ты погиб навечно" (Ангелус Силезиус).

Это он, наверное, от болезненности уже. Паскаль-то. Умный человек, но вера на всякий случай, это и по нынешним меркам чудно. Или барочным людям это, наоборот, меньше слух резало? Шалуны они были преизрядные.

Я давно не перечитывал "Мысли", но интонацию помню. Она... как сказать... Очень искренняя. И никоим образом не поучающая. Великая книга, одна из величайших.

Ну... то есть, мне не кажется, что это нужно обсуждать именно как логическую конструкцию. Стихи ведь не обсуждаются как логические конструкции?

А как логическая конструкция - это, мне кажется, очевидно несерьезно. Хотя бы потому, что выбирать нужно не только между одной, совершенно конкретной религией, и атеизмом, но и, например, между разными религиями (и даже разными христианскими конфессиями) - которые все признают существование Бога, но практические выводы из этого делают зачастую прямо противоположные.

Насчет лиричности не берусь судить; неожиданно как-то.

А вот насчет разных религий подумал, что для них тогдашних религия была по умолчанию одна, уж истина она или ложь, другое дело. Многие ли меняли тогда веру? Альтернативой был атеизм, и все.

Ну, серьезное логико-философское рассуждение не должно исходить из таких предположений "по умолчанию". Если же рассматривать как дневниковую запись конкретного человека конкретной эпохи - то тогда конечно. И тогда для нас важно только - хорошо ли это сказано. И является ли это точной зарисовкой возможного настроения. Сравнение со стихами - в этом смысле.

Все возможно. Если в Европе "блаженная торговля с Богом" никому не казалась странной (не помню, кто сказал, чуть ли не Франциск), то такую спекуляцию в поэзию облечь подавно нетрудно.

Ну, сказал: "верю", и что?

Надо с чего-то начинать. Часто вера начинается именно с "Господи, Господи" (и мотивы поначалу бывают весьма меркантильные), а уже потом становится - или не становится - деятельной. Человек, сказавший "верю", но еще не выбравший ни конфессии, ни даже религии, прошел больше по пути спасения, чем сказавший "не верю".

> Человек, сказавший "верю", но еще не выбравший ни конфессии, ни даже религии, прошел больше по пути спасения, чем сказавший "не верю".

Существуют и другие точки зрения. Например, Вл. Соловьев высказывал предположение, что в некоторые эпохи, скорее, атеисты выполняют волю Божию, чем люди формально религиозные. И ссылался на притчу о двух сыновьях, из которых один сказал "пойду", и не пошел, а другой сказал "не пойду", и пошел.

Я уж не говорю о том, многократно отмечавшемся, обстоятельстве, что единственная категория людей, по поводу которой Христос в Евангелиях выражает гнев, это книжники и фарисеи. То есть, как раз, те, чья формальная приверженность вере вопросов не вызывает.

А фишка в том, что не здоровые нуждаются во враче (Враче), но больные. Самодовольство наглухо перекрывает все каналы, по которым поступает Благодать. См. историю про молитву мытаря.

Разумеется, но это о более высокой степени дифференциации: ни мытарь, ни фарисей не были атеистами. И прежде, чем уподобиться евангельскому мытарю, необходимо уверовать. Пари Паскаля помогает превозмочь иррациональный страх сомневающегося перед верой: в вере ничего страшного нет, а в неверии может и быть.

> в вере ничего страшного нет

Ох. Даже не знаю, что на это сказать. Да там всё страшно. И лишь совершенная любовь превозмогает страх.

Неудобно спрашивать - Вы Книгу Иова читали? Например.

Прошу прощения, я двусмысленно и весьма неудачно выразился.

Имелось в виду, что предпочтение веры неверию не ведет к губительным последствиям для сомневающегося. Пример Иова как раз показывает, что вера позволяет переносить страдания и искушения, и что за смиренное терпение последует великая награда (как я понимаю, явного учения о посмертном воздаянии в Ветхом Завете еще не было, и потому книга Иова особенно замечательна тем, что дает страждущим Надежду). В атеистической же вселенной страданий ничуть меньше - это ведь не вопрос мировоззрения, мы все их наблюдаем, - но они не несут никакого смысла - ничего, кроме боли.

И да, я считаю, что атеистическая картина мира несравненно более страшная (особенно - более безнадежная), чем христианская. Христианин - по крайней мере, если он Силуан Афонский, - может, держа ум во аде, не отчаиваться.

> да, я считаю, что атеистическая картина мира несравненно более страшная (особенно - более безнадежная), чем христианская

Я тоже так считаю*. И, несомненно, Паскаль считал так. И его пари должно восприниматься в правильном контексте. "Мысли" в целом - сильнейший аргумент в пользу веры. Но, вырванный из этого контекста и рассматриваемый с сугубо логической точки зрения, пари, как аргумент, не канает.

*"...если только вдуматься, во что именно должен верить человек, принимающий всерьез все то, чему учат в школе. Он должен верить в то, что живет в крохотной части враждебной и, в целом, абсолютно не приспособленной для жизни Вселенной; он живет даже не просто на маленькой планете, а в тончайшем слое на поверхности этой планеты между лишенным воздуха и пронизанным смертоносными излучениями пространством и сжатой раскаленной магмой. Среда вокруг него и его собственный организм кишмя кишат паразитами, действующими на молекулярном, клеточном и всех остальных уровнях; в любой момент они могут загрызть его до смерти - если эта самая смерть не произойдет по любой из миллиарда остальных причин.

Четко, надежно работают бойни,
Все, кому нужно, всегда при ноже, -
Значит, в потенции каждый - покойник,
За исключением тех, кто уже.
(В. Высоцкий)

О таким мелочах, как неизбежное превращение Солнца в красный гигант с полным испепелением всех близко расположенных планет, а потом в белый карлик, за чем последует унылое "мирное" остывание или взрыв, тоже не стоит забывать. Да и всей Вселенной по любой из научных физических моделей рано или поздно придет безрадостный конец - либо сжатие в точку и уничтожение в пламени апокалиптического пожара, либо распад материи (нестабильность протона), вечная тьма и абсолютный космический холод. На этом все заканчивается. Совсем. И, что самое страшное, во всем этом нет никакого смысла. Люди по-настоящему умные и чуткие, как Блез Паскаль, прочувствовали весь ужас естественнонаучной картины мира еще в момент ее зарождения в XVII веке. Не было утрачено это ощущение и позднее, например:

Врет проклятая наука,
Что бессмертья людям нет.
Врет! И в том моя порука,
Что науке скоро капут.
Потому что нет науки,
А бессмертье людям есть.
Я видал такие знаки.
Я слыхал такую весть.
(Д. Хармс)"
http://lit.lib.ru/i/irhin_w_j/fenix.shtml