| 2:24a |
как я провёл лето
кажется начинает доходить
вот возьмём например конечномерное пространство V и натянем на него
свободную нильпотентную алгебру ли Lie^{меньше n}(V) - то есть просто возьмём
свободную и обрежем все n-кратные коммутаторы. Какие у неё гомологии?
Первые, понятно, V. Из чего-нибудь типа пятичленной точной
последовательности можно увидеть, что вторые это пространство лиевских
полиномов степени n Lie^n(V). Дальше можно сказать, что на когомологиях
есть структура коалгебры, более того, даже A-инфинити коалгебры. Более
того, раз эта А-инфинити структура приходит с комплекса шевалле, который
кокоммутативный, то это на самом деле С-инфинити структура. С-инфинити
коалгебра это А-инфинити коалгебра, у которой все высшие коумножения
бьют в лиевские полиномы (а не во все). То есть, если структура
А-инфинити коалгебры на пространстве H это дифференциал на тензорной
алгебре от H[1], то C-инфинити коалгебра - это дифференциал на свободной
алгебре ли. Соответствующая алгебра ли называется комплексом Харрисона
от C-инфинити алгебры.
Бар-кобар двойственность говорит нам, что гомологии Харрисона от
комплекса шевалле от алгебры ли изоморфны этой же самой алгебре ли
(сосредоточенной в степени ноль). Мы однако хотим считать гомологии
харрисона не от комплекса шевалле, а от его гомологий. Вообще говоря,
для произвольной алгебры ли получится совсем другой ответ (как можно
проверить для sl_2), но для нильпотентной алгебры ли комплекс шевалле и
его когомологии не просто квазиизоморфны, а фильтрованно квазиизоморфны
—- и этого достаточно, чтобы когомологии Харрисона не менялись (см.
тезис Лефевра-Хасегавы).
То есть мы знаем, что гомологии Харрисона комплекса Шевалле
сосредоточены в степени ноль. Если нарисовать картинку, то можно
наблюсти два обстоятельства:
во-первых, все коумножения m_k: H_2 -> Lie^k(H_1) нулевые, кроме как при
k=n, и в этом случае это изоморфизм во-вторых, сама коалгебра гомологий
целиком копорождена H_1 как бесконечность-коалгебра
вопрос: есть ли там другие соотношения, кроме как в H_2? То есть,
рассмотрим С-инфинити алгебру H (я тут уже перестал различать алгебры и
коалгебры), свободно порождённую векторным пространством V с
соотношением таким, как выше. Только что мы построили сюръективный
морфизм (строгий) из этой алгебры в когомологии свободной алгебры ли.
Как доказать, что это изоморфизм? Надо построить стрелочку в обратную
сторону.
Для этого рассмотрим копроизводную категорию нашей алгебры H. Общий
принцип такой, что копроизводная категория H это производная категория
алгебры ли Харрисона от H, а на ней есть t-структура, в сердечнике у
которой лежит категория представлений нулевых когомологий харрисона, то
есть нашей свободной нильпотентной алгебры ли. Если под копроизводной
категорией мы понимаем категорию скрученных комплексов (опять же см.
Лефевра-Хасегаву), то это не очень сложно проверить непосредственно. И
теперь общая наука про t-структуры в А-бесконечность категориях даёт нам
(не обязательно строгое) отображение между когомологиями алгебры ли и
той А-бесконечность алгебры, которую мы задали образующими и
соотношениями. Кажется, из существования двух стрелочек туда-сюда и
того, что мы знаем, что на H_1 это изоморфизмы, уже должно следовать,
что это одна и та же алгебра.
Есть некоторая проблема с тем, что общей науки про t-структуры в
А-бесконечность категориях не существует, но она выглядит как в принципе
решаемая. |