Бросить все и читать идеалиста Пенроуза, что ли?
Его "понимательная способность", как мне кажется, им же и объясняется как "аналоговое вычисление". Иными словами, "придумывание аксиоматики" базируется на изучении свойств окружающего мира.
Теорема Геделя, если упрощенно, утверждает несводимость арифметики к конечному набору аксиом (поправьте, если я теряю что-то важное). При этом не утверждается (Геделем), что человек способен всю эту бесконечность аксиом освоить - просто, некоторые ему по зубам.
Насчет "способа, которым человек понимает истинность теоремы Геделя", и недопустимости его формализации по Пенроузу, мне так сразу не найти. На вскидку, так вполне себе формализуемое доказательство... Если конкретные ходы логики известны, почему нельзя выделить из них аксиомы, алгоритмы и прийти к известному результату? Пусть это все и работает только для данного конкретного случая!? ;)