На похожую тему, недавно узнал, может быть вы не в курсе. Не претендуя на точный пересказ, общая мысль, как я её понял.

Широко известно, что матанализ придумали Ньютон с Лейбницем. Так же известно, что у них были проблемы с обоснованиями, и эти проблемы были вплоть до 19-го века, когда Коши & Ко всё переделали на пределы. А до того были какие-то мутные "бесконечно малые", которые вроде бы никто не понимал толком, но, удивительно, все результаты оказались рабочими. На пределах все и успокоились, сойдясь на том, что отцы-основатели сами тоже не очень понимали, что же пишут.

История имеет продолжение. В 196x году американский математик Авраам Робинсон предложил так называемый "нестандартный анализ". http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis Я не знаю подробностей и вообще не компетентен в этой области. Насколько я понял из популярных статей, идея в том, чтобы аккуратно ввести те самые бесконечно малые и построить всё на них. И получилось.

Насколько я знаю, никаких ошеломительных результатов таким образом получить не удалось. Доказали, что с математической точки зрения подходы равносильны, т.е. все утверждения можно перенести с одного языка на другой. Мейнстримом это тоже не стало.

Для меня здесь основной поинт в том, что хотя Ньютон с Лейбницем и говорили что-то совсем не то, что говорят сейчас, вполне вероятно, что они всё-таки вполне понимали, что говорят. Всё же не глупее нас с вами были. Другой вопрос, что они не могли достаточно аккуратно по нынешним меркам ввести используемый аппарат -- ну, без теории множеств, кажется, там вообще ничего аккуратно не получается.