| 8:08p |
Еще одна теорема о производных категориях второго рода
Пусть E -- точная категория (можно было бы сказать "точная DG-категория", но не будем переусложнять) со всюду определенными и точными функторами бесконечных произведений. Пусть F ⊂ E -- полная подкатегория, замкнутая относительно расширений и ядер допустимых эпиморфизмов в E, и такая, что во всякий объект из E имеется допустимый эпиморфизм из объекта, принадлежащего F.
Замкнутость F относительно бесконечных произведений в E не предполагается. Вместо этого, мы предположим, что
- F как точная категория (с индуцированной структурой) имеет конечную гомологическую размерность.
Теорема 1. В сформулированных предположениях, естественный функтор из абсолютной производной категории F в контрапроизводную категорию E является вполне строгим.
Если предположить дополнительно, что
- счетные произведения объектов из F, взятые в E, имеют конечную левую F-гомологическую размерность (в смысле, допускают конечные левые резольвенты в E объектами из F)
то имеет место более сильное утверждение:
Теорема 2. В предположениях выше, естественный функтор из абсолютной производной категории F в контрапроизводную категорию E является эквивалентностью триангулированных категорий.
Набросок доказательства: теорема 2 выводится из теоремы 1 с помощью рассуждений из разделов 3.7-3.8 мемуара Two kinds... Для любого комплекса над E можно построить левую резольвенту в виде бикомплекса над F, тотализовать ее с помощью бесконечных произведений, у полученного комплекса снова построить резольвенту над F в виде конечного (в направлении разрешения) бикомплекса над F, и снова тотализовать. Получится комплекс над F, отображающийся в исходный комплекс над E с конусом, контраацикличным над E. В силу известной леммы, остается показать, что всякий комплекс над F, контраацикличный над E, является абсолютно ацикличным над F. Теорема 1 утверждает даже больше.
Утверждение теоремы 1 представляет собой по существу смесь результатов разделов 1.5 и 1.6 статьи Coherent analogues..., и доказательство не требует новых идей, а только соединения уже имеющихся аргументов в этих разделах. Покажем, что всякий морфизм в Hot(E) из комплекса над F в комплекс, контраацикличный над E, факторизуется через комплекс, абсолютно ацикличный над F. Комплексы, контраацикличные над E, получаются из тотализаций точных троек комплексов над E с помощью (трансфинитного) итерирования операций конуса и бесконечного произведения. Нужно проверить, что тотализации точных троек комплексов над E обладают интересующим нас свойством, а операции конуса и бесконечного произведения это свойство сохраняют.
Применительно к тотализациям точных троек и операции конуса, эти утверждения по существу доказаны в разделе 1.5 процитированной статьи. Далее, морфизм в бесконечное произведение комплексов факторизуется через бесконечное произведение тех комплексов, через которые факторизуется морфизм в каждый из сомножителей. Наконец, в разделе 1.6 показано, что если гомологическая размерность F не превышает d, то всякий абсолютно ацикличный комплекс над F является прямым слагаемым тотализации (d+2)-членной конечной точной последовательности комплексов над F. Поэтому бесконечное произведение абсолютно ацикличных комплексов над F, взятое в E, является абсолютно ацикличным комплексом над E. Ввиду вышеупомянутых результатов раздела 1.5, морфизм в такой комплекс факторизуется из комплекса над F факторизуется через абсолютно ацикличный комплекс над F. |