| 10:06p |
Неквазикомпактные неполуотделимые схемы
Как известно, гомологическая теория квазикогерентных пучков имеет разумный вид для а) квазикомпактных полуотделимых схем (когда можно пользоваться резольвентами Чеха) и б) локально нетеровых схем (когда можно пользоваться инъективными резольвентами). В частности, в этих двух случаях можно доказать, что Ext-ы между квазикогерентными пучками в категориях квазикогерентных пучков и произвольных пучков O-модулей изоморфны.
В общем случае, говорят, правильным объектом является производная категория комплексов пучков O-модулей с квазикогерентными когомологиями. Я в этом не разбираюсь; не знаю, в частности, что (если что-либо) должно быть контрагерентным аналогом такой конструкции. Да и что (если что-либо) должно быть в этом случае аналогом производных категорий второго рода, тоже не знаю.
В двух же случаях а) и б), перечисленных в первом абзаце, теория квазикогерентно-контрагерентного соответствия принимает разный вид. При этом на пересечении двух случаев (для полуотделимых нетеровых схем) картина получается особенно богатой.
Над квазикомпактной полуотделимой схемой имеется эквивалентность обычных (ограниченных или неограниченных) производных категорий, а также абсолютных производных категорий квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков. Над полуотделимой нетеровой схемой с дуализирующим комплексом имеется эквивалентность четырех категорий: абсолютной производной категории плоских квазикогерентных пучков, копроизводной категории произвольных квазикогерентных пучков, контрапроизводной категории произвольных контрагерентных копучков, и абсолютной производной категории локально инъективных контрагерентных копучков.
Наконец, над произвольной локально нетеровой схемой с дуализирующим комплексом должна быть, как представляется, эквивалентность между копроизводной категорией квазикогерентных пучков и контрапроизводной категорией контрагерентных копучков локально кокручения. Пытаюсь сейчас прописать доказательство этого утверждения. Редкой уродливости детали рассуждений, связанные с неквазикомпактностью схемы, пока что у меня получаются.
04.11.12 00:15 - Update: нет, не получается локально нетерова схема. Попробуем ограничиться нетеровой, но не полуотделимой. |