| 5:09p |
Комплексы проективных модулей и комплексы плоских модулей кокручения
В своей известной работе про гомотопическую категорию плоских модулей над кольцом, А.Н. доказывает, что гомотопическая категория проективных модулей (над любым ассоциативным кольцом) изоморфна производной категории точной категории плоских модулей.
Более того, он строит полуортогональное разложение гомотопической категории плоских модулей на гомотопическую категорию проективных модулей и гомотопическую категорию ацикличных комплексов по отношению к точной категории плоских модулей (т.е., ацикличных комплексов плоских модулей с плоскими модулями коциклов-кограниц).
Как насчет аналогичного результата для комплексов плоских модулей кокручения? А.Н. обещает доказать "в следующей статье", что подкатегория ацикличных комплексов по отношению к точной категории плоских модулей имеет ортогональное дополнение с другой стороны. Не является ли таковым гомотопическая категория плоских модулей кокручения?
Оба утверждения (как про комплексы проективных, так и про комплексы плоских модулей кокручения) легко доказываются, когда всякий плоский модуль имеет конечную проективную размерность. В этом случае производная категория точных модулей кокручения совпадает с их абсолютной производной категорией, и методы, связанные с производными категориями второго рода, немедленно все решают.
P.S. А.Н. выполнил свое обещание, см. его статью Some adjoints in homotopy categories, Ann. of Math. 2010. С тех пор появилась еще одна: Explicit cogenerators for the homotopy category of projective modules over a ring, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 2011. Далее, есть загадочный текст пяти авторов Bravo, Enochs, Iacob, Jenda and Rada, который обещается to appear in Rocky Mountain Journal of Math. Наконец, удалось скачать текст Hosseini, Salarian, A cotorsion theory in the homotopy category of flat quasi-coherent sheaves, Proc. AMS 2012.
По последней ссылке авторы приходят примерно к тем же выводам, к которым уже пришел я (в случае модулей над кольцом), размышляя над текстом Some adjoints... Похоже на то, что вопрос, обсуждаемый в основной части постинга, остается открытым. Проблема сводится к тому, чтобы показать, что ацикличный комплекс плоских модулей кокручения с плоскими модулями коциклов-кограниц стягиваем (если это верно вообще).
Может быть, полуортогональное разложение гомотопической категории плоских модулей образуют комплексы плоских модулей кокручения вместе с коацикличными комплексами плоских модулей, вовсе даже наоборот? |