| 1:19p |
Комплексы вялых пучков
Вопрос: что такое гомотопически вялый комплекс пучков?
Ответ: в контексте прямых образов квазикогерентных пучков на схемах, это любой (неограниченный) комплекс вялых пучков. В самом деле, морфизм схем должен быть квазикомпактным и квазиотделимым, чтобы прямой образ при нем сохранял квазикогерентность. Для такого морфизма схем, прямой образ комплекса вялых квазикогерентных пучков, ацикличного как комплекс квазикогерентных пучков, является снова комплексом вялых квазикогерентных пучков, ацикличным как комплекс квазикогерентных пучков.
Доказательство: вопрос локален по базе, так что достаточно рассмотреть морфизм из квазикомпактной квазиотделимой схемы в аффинную. Дальше написать комплекс Чеха сначала для аффинного покрытия квазикомпактной полуотделимой схемы, а потом -- для квазикомпактного полуотделимого покрытия квазикомпактной квазиотделимой. Пользоваться тем, что высшие когомологии Чеха вялого пучка по любому покрытию зануляются.
То же верно для локально контрагерентных копучков (локально кокручения или произвольных).
P.S. Вопрос к вопросу: зачем вообще нужны вялые квазикогерентные пучки? Не достаточно ли инъективных?
Ответ: представьте себе, что вам нужно показать, что композиция производных функторов прямого образа изоморфна производному функтору прямого образа при композиции морфизмов. Т.е., что прямой образ переводит инъективные пучки/комплексы в ацикличные/приспособленные. Как вы будете это делать?
Для локально нетеровых схем, один способ объяснен выше: инъективные пучки вялы, прямые образы вялых пучков вялы, вялые пучки ацикличны. Для квазикомпактных полуотделимых схем, можно пользоваться контраприспособленными квазикогерентными пучками или квазикогерентными пучками кокручения (см. мой контрагерентный текст).
Для произвольных схем, проблема, видимо, не имеет решения -- потому и говорят, что надо работать не с производной категорией квазикогерентных пучков, а с производной категорией пучков O-модулей с квазикогерентными когомологиями. А инъективные пучки O-модулей таки вялы, на любой схеме (и на любом окольцованном пространстве). |