| 12:17a |
Сопряженные функторы и ограниченные комплексы
Пусть f: Y → X -- морфизм нетеровых схем конечной размерности Крулля. Тогда из представимости Брауна следует существование правого сопряженного функтора f! к производному функтору Rf*: D(Y-qcoh) → D(X-qcoh). Как показать, что функтор f! переводит ограниченные снизу комплексы в ограниченные снизу комплексы?
Скажем, можно использовать такой критерий: Hom в D(Y-qcoh) из любого комплекса, живущего в градуировках < N, в фиксированный комплекс C зануляется тогда и только тогда, когда C имеет когомологии только в градуировках ≥ N. И дальше использовать сопряженность и то, что функтор Rf* повышает степени когомологий не больше, чем на константу.
Из представимости Брауна следует также существование правого сопряженного функтора f! к производному функтору Rf*: Dco(Y-qcoh) → Dco(X-qcoh). Как показать, что функтор f! переводит ограниченные снизу комплексы в ограниченные снизу комплексы? Ограниченные теперь уже, естественно, не в смысле когомологий, а в смысле членов комплексов.
Скажем, можно использовать такой критерий: Hom в Dco(Y-qcoh) из любого комплекса, живущего в градуировках < N, в фиксированный комплекс C зануляется тогда и только тогда, когда каноническое обрезание C, живущее в градуировках < N, коациклично. И дальше снова использовать сопряженность и то, что Rf* повышает степени членов комплексов не больше, чем на константу.
Аналогично, из ковариантной представимости Брауна следует существование левого сопряженного функтора f* к производному функтору Lf!: D(Y-ctrh) → D(X-ctrh). Как показать, что функтор f* переводит ограниченные сверху комплексы в ограниченные сверху комплексы?
Скажем, прямое доказательство, двойственное к изложенному выше, упирается в проблему, что категория контрагерентных копучков неабелева и канонических фильтраций на комплексах над ней нет. С другой стороны, известно, что квазинаивное ко-контра соответствие переводит ограниченные с какой-либо стороны комплексы в аналогично ограниченные.
Если бы мы знали закон трансформации Rf* в Lf! при этом самом соответствии, вопрос свелся бы к доказательству того, что функтор Lf* на производных категориях квазикогерентных пучков сохраняет ограниченность сверху. С чем, уж наверное, как-нибудь можно было бы разобраться -- используя ли конструкцию Lf* через комплексы пучков O-модулей, или двойственный вариант приведенного выше рассуждения с сопряженностью и ортогональностью.
Наконец, из ковариантной представимости Брауна следует еще и существование левого сопряженного функтора f* к производному функтору Lf!: Dctr(Y-ctrh) → Dctr(X-ctrh). Как показать, что функтор f* переводит ограниченные сверху комплексы в ограниченные сверху комплексы?
Скажем, два фигурирующих выше функтора Lf! образуют коммутативный квадрат с функторами локализации Вердье, бьющими из контрапроизводных категорий в производные. Последние функторы имеют левые сопряженные, которые можно построить с помощью гомотопически проективных резольвент. Квадрат из сопряженных функторов тоже будет коммутативен.
Поскольку все ограниченные сверху комплексы проективных объектов гомотопически проективны и в каждый ограниченный сверху комплекс можно отобразить ограниченный сверху комплекс проективных объектов так, чтобы конус был контраацикличен (да и вообще всякий ограниченный сверху ацикличный комплекс контраацикличен), наш левый сопряженный функтор к функтору локализации образует коммутативный треугольник с вложениями производной категории ограниченных сверху комплексов в неограниченную производную категорию и контрапроизводную категорию.
Это доказывает не только сохранение ограниченности сверху функтором f*, но и согласованность двух полученных такими ограничениями функторов f* на производной категории ограниченных сверху комплексов. |