Полутензорное произведение пучков кручения над инд-схемой, плоской над инд-артиновой инд-схемой Пусть X -- инд-схема, представимая направленной индуктивной системой спектров локальных артиновых колец A
α и их замкнутых вложений, и пусть Y -- инд-схема, представимая направленной индуктивной системой плоских схем Y
α над Spec A
α и их замкнутых вложений, образующих декартовы квадраты с морфизмами Spec A
β → Spec A
α. Зафиксируем какую-нибудь инъективную оболочку E единственного неприводимого объекта в категории квазикогерентных пучков кручения на X. В этой ситуации, хотелось бы определить не точный ни слева, ни справа функтор полутензорного произведения (относительно X) квазикогерентных пучков кручения на Y.
Заметим, что подлежащие топологические пространства всех схем Y
α совпадают, и открытое подмножество этого топологического пространства соответствует аффинной открытой подсхеме во всех Y
α одновременно (см. Хартсхорн "Алгебраическая геометрия", упр. III.3.1, EGA II Thm. 5.2.1 (критерий аффинности Серра), EGA III Thm. 1.3.1 (когомологии аффинных схем). Поэтому достаточно определить искомый функтор в случае инд-аффинной инд-схемы Y таким образом, чтобы он был согласован с ограничениями на (главные) аффинные открытые подсхемы.
Рассмотрим сначала случай, когда все кольца A
α являются конечномерными алгебрами над полем k. Тогда квазикогерентные пучки кручения на X -- это то же самое, что комодули над прямым пределом C коалгебр Hom
k(A
α,k) над k, и за E можно взять саму коалгебру C. В этом случае, согласно
http://posic.livejournal.com/939189.html , с Y можно связать полуалгебру S над коалгеброй C; при этом категория квазикогерентных пучков кручения на Y эквивалентна категории S-полумодулей. Искомый функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на Y есть просто полутензорное произведение полумодулей над S (производящее в данном случае из двух полумодулей над S третий -- видимо, ввиду полукоммутативности S).
В неаффинной ситуации над полем, на Y появляется пучок полуалгебр S, являющийся квазикогерентным пучком кручения. Функтор локализации по элементу структурного пучка, будучи точным, коммутирует с полутензорными произведениями.
В общем случае на категории квазикогерентных пучков кручения на X имеется функтор котензорного произведения (см. 1202.2697, раздел 1.9, ср.
http://posic.livejournal.com/938974.html ). Если Y инд-аффинна, то тензорное произведение E⊗
O(X)O(Y) (понимаемое как прямой предел по α тензорных произведений E(α)⊗
AαO(Y
α), где E(α) обозначает максимальный подпучок в E, сосредоточенный на Spec A
α -- !-ограничение) является (полу)алгеброй в этой тензорной категории. Категория квазикогерентных пучков на Y должна описываться как категория полумодулей над этой полуалгеброй, и отсюда функтор полутензорного произведения.