Лёня Посицельский's Journal

Определения
Не удается сейчас найти --

sowa хорошо писал об этом. Попытаюсь пересказать своими словами: в математической теории есть много утверждений, гораздо меньшее количество существенно разных доказательств (одни и те же идеи используются в доказательствах многих разных на вид утверждений), и совсем уж небольшая горстка определений, на которых все строится и которые, собственно, и представляют наибольшую ценность.

Так же, как доказательства формально доказывают теоремы, теоремы и доказательства вместе неформально "доказывают" определения -- в том смысле, что демонстрируют возможности работы с ними, удобство использования их в рассуждениях, их познавательную пользу и проясняющую силу. Из множества определений, которые можно найти в статьях и книгах, время отберет те, которые окажутся самыми правильными и важными; они-то в основном и составят то математическое наследие, которое будет передаваться в поколениях и веках.

Хорошие определения на дороге не валяются. Математики учатся узнавать хорошие определения, когда они их видят. Случайно взятое определение почти наверняка бесполезно либо вообще, либо для того, кто его "случайно взял": может быть, его и можно приспособить к делу, но "случайно взявший" вряд ли знает, как и к какому. Учебники и монографии, излагающие теории, пишутся для того, чтобы рассказать, как правильно пользоваться и для чего можно использовать любимые определения их авторов.

... Я провел лет семь, с 1992 по 99, решая (помимо прочих занятий, конечно) некую нечетко поставленную задачу, решением которой оказалось, в итоге, одно определение (производных категорий второго рода). Я считаю это определение самым важным открытием своей жизни (по крайней мере, прошедшей ее части). Придумать его не так сложно: другие люди (тоже признанные специалисты) позже независимо рассматривали его в середине 00-х годов. Далеко продвинуться им не удалось: они не понимали, что нужно делать с этим определением, как с ним работать и где использовать.

Определение контрагерентного копучка у меня появилось (весной прошлого года) после трех лет размышлений и ряда неудачных попыток (конечно, я не одним только этим занимался три года). За последующий год мне пришлось написать 200-страничный текст, чтобы только в самом первом приближении объяснить, как нужно работать с этим определением и где его можно использовать. К изложению решения задачи, ради которой изначально придумывалось это определение, этот текст, после написанных 200 страниц, еще только-только подступает.