Sunday, September 8th, 2013

Time	Event
9:43a	Еще о редукции точных категорий - 3 В предыдущий постинг http://posic.livejournal.com/995400.html вкралась одна ошибка: функтора редукции Gστ → Gτ не существует в рассматриваемой там общности. Есть только функторы редукции F → Gστ и F → Gσ. Поверить в это почти невозможно (что значит, объект категории, профакторизованной по στ, нельзя редуцировать дальше до объекта категории, профакторизованной по σ?), но проблема в том, что объекты редуцированных категорий суть некие матричные факторизации, и нет хорошего способа построить по матричной факторизации естественного преобразования στ матричную факторизацию естественного преобразования σ. Поэтому конструкция "конечно-конечно-конечной" последовательности Бокштейна оказывается более симметричной, чем это описано в постинге по ссылке. Вторая стрелка ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)) → ExtGσn(gσ(X),gσ(Y)) строится примерно так же, как и первая стрелка ExtGτn(gτ(X),gτ(Y)) → ExtGστn(gστ(X),gστ(Y)). Пусть имеется морфизм gστ(X) → gστ(Y) в категории Gστ. Тогда найдутся допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории F, образующие коммутативный квадрат в категории F, образы которых при функторе gστ вместе с исходным морфизмом образуют два коммутативных треугольника с общим ребром в точной категории Gστ. Квадрат из морфизмов в категории F коммутативен по модулю идеала морфизмов, делящихся на στ. Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C делятся на στ, и следовательно, также и на σ. Поэтому коммутативный образ нашего коммутативного квадрата при функторе gσ можно (единственным образом) дополнить стрелкой gσ(X) → gσ(Y) так, чтобы коммутативность сохранилась. Искомое отображение на классах Ext степени 0 построено, и дальше рассуждение продолжается так же, как в постинге по ссылке. (Read Comments | Comment on this)
11:18p	Еще о категорной последовательности Бокштейна Конструкция "конечно-конечно-конечной" точной последовательности Бокштейна, изложенная в предыдущих постингах, имеет один недостаток: она выдает точную последовательность групп Ext в трех редуцированных категориях Gτ, Gσ и Gστ между двумя объектами, приходящими из исходной категории F. Хотелось бы, однако, иметь такую точную последовательность для любых двух объектов категории Gστ -- пусть даже при дополнительных или иных предположениях, чем в построениях выше. Цель этого постинга -- сформулировать (хотя бы пока в первом приближении) такие предположения относительно трех точных категорий Fτ, Fσ и Fστ, при которых группы Ext в этих трех категориях (между двумя объектами, приходящими из Fστ) увязывались бы в длинную точную последовательность. Предположения эти не зависят ни от какой конструкции редукции точных категорий, а принимают все три категории (плюс требуемые дополнительные структуры на них) за исходную данность. Пусть Fτ, Fσ и Fστ -- три точные категории, снабженные двумя точными функторами hτ: Fστ → Fτ и hσ: Fστ → Fσ, отражающими допустимые мономорфизмы, допустимые эпиморфизмы и точные последовательности. Кроме того, мы хотим предполагать, что точные функторы hτ и hσ удовлетворяют - условиям лемм 4.4-4.5 из статьи Artin-Tate motivic sheaves... (т.е., через всякий допустимый мономорфизм из образа объекта при функторе пропускается образ допустимого мономорфизма при функторе, и через всякий допустимый эпиморфизм на образ объекта пропускается образ допустимого эпиморфизма); - похожему условию на морфизмы между двумя приходящими объектами: ко всякому такому морфизму можно прикомпоновать (с очевидной стороны) образ допустимого мономорфизма, так чтобы получить приходящий морфизм, и (с другой стороны) образ допустимого эпиморфизма, так чтобы получить приходящий морфизм. Далее, пусть на аддитивной категории Fστ заданы два эндоморфизма тождественного функтора (отметим, что такие эндоморфизмы образуют коммутативное кольцо k -- "центр категории" -- и вся категория является естественным образом k-линейной) σ и τ, причем их произведение-композиция στ -- нулевой эндоморфизм. Потребуем также, чтобы функтор hτ аннулировал все эндоморфизмы (делящиеся на) τ, а функтор hσ -- (на) σ. Наконец, нам понадобятся два более тонких условия: морфизм в категории Fστ - аннулируется функтором hτ тогда и только тогда, когда он аннулируется умножением на σ; - аннулируется функтором hσ тогда и только тогда, когда к нему можно прикомпоновать (с очевидной стороны) допустимый мономорфизм (в той же категории) так, чтобы композиция делилась на σ (как элемент k-модуля морфизмов между соответствующими двумя объектами) или тогда и только тогда, когда к нему можно прокомпоновать (с другой стороны) допустимый эпиморфизм так, чтобы композиция делилась на σ. Эквивалентность последних двух условий следует из предшествующих наших предположений. В этих условиях хотелось бы построить для любых двух объектов X и Y ∈ Fστ естественную длинную точную последовательность ExtFτn(hτ(X),hτ(Y)) → ExtFστn(X,Y) → ExtFσn(hσ(X),hσ(Y)) → ExtFτn+1(hτ(X),hτ(Y)) → (Read Comments | Comment on this)

<< Previous Day

2013/09/08 [Calendar]

Next Day >>