Tuesday, September 10th, 2013

Time	Event
12:29p	Еще о категорной последовательности Бокштейна - 3 Продолжение постинга http://posic.livejournal.com/996727.html Пусть, помимо точного функтора h: G → H, заданы точные функторы eG: G → EG и eH: H → EH, а также точный функтор eh: EG → EH, образующие коммутативный квадрат. Тогда если свойством отражать допустимые мономорфизмы, допустимые эпиморфизмы и точные последовательности обладают функторы eG и eh, то такими же свойствами обладает и функтор h. Вернемся теперь к обозначениям постинга http://posic.livejournal.com/995400.html , и предположим, что редуцированные категории Gστ, Gτ, Gσ построены с помощью "консервативных точных фукторов" из категории F в точные категории Eστ, Eτ, Eσ, так что имеются также естественные "консервативные точные функторы" из редуцированных категорий G в базовые категории E с теми же индексами. Предположим далее дополнительно, что заданы точные функторы Gστ → Gτ, Gσ и "консервативные точные функторы" Eστ → Eτ, Eσ, так что вся вместе диаграмма из семи категорий и десяти функторов коммутативна. Наконец, предположим, что σ и τ действуют как эндоморфизмы тождественного функтора на категории Eστ, коммутируя с функтором F → Eστ (а значит, и с функтором Gστ → Eστ). Тогда 1. Если верно, что морфизм в категории Eστ аннулируется функтором Eστ → Eτ тогда и только тогда, когда он аннулируется умножением на σ, то верно и то, что морфизм в категории Gστ аннулируется функтором Gστ → Gτ тогда и только тогда, когда он аннулируется умножением на σ. (Просто потому, что функторы Gστ → Eστ и Gσ → Eσ отражают нулевые морфизмы.) 2. Морфизм в категории Gστ аннулируется функтором Gστ → Gσ тогда и только тогда, когда к нему можно прикомпоновать одновременно допустимый эпиморфизм с одной стороны и допустимый мономорфизм с другой в категории Gστ так, чтобы композиция делилась на σ. (Представить рассматриваемый морфизм в редуцированной категории морфизмом матричных факторизаций естественного преобразования στ в категории F и воспользоваться изначальным предположением, что морфизм в категории F аннулируется функтором F → Eσ тогда и только тогда, когда он делится на σ.) Теперь, ввиду замечания в конце постинга http://posic.livejournal.com/996551.html насчет эквивалентности делимости на σ после взятия композиции с допустимым мономорфизмом или с допустимым эпиморфизмом, условие в пункте 2. можно (при соответствующих предположениях) переписать, позволяя только композицию с допустимым мономорфизмом с одной стороны или с допустимым эпиморфизмом с другой. (Read Comments | Comment on this)
2:08p	Еще о категорной последовательности Бокштейна - 4 Теперь, научившись (до какой-то степени) проверять, что условия первого постинга http://posic.livejournal.com/996551.html этой серии выполнены в интересующей нас ситуации, опишем в первом приближении прямую конструкцию искомой "конечно-конечно-конечной" категорной последовательности Бокштейна. Вторая стрелка индуцирована точным функтором hσ: Fστ → Fσ. Конструкции первой и третьей стрелок основаны на все той же лемме 4.5 (условия которой выполнены для функторов hτ и hσ согласно предположениям из постинга по ссылке). Пусть имеется морфизм hτ(X) → hτ(Y) в категории Fτ. Тогда можно подобрать допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории Fστ, образы которых при функторе hτ вместе с исходным морфизмом образуют два коммутативных треугольника с общим ребром в точной категории Fτ. Квадрат из морфизмов в категории Fστ становится коммутативным после применения функтора hτ, откуда, по нашим предположениям, следует, что он коммутативен по модулю идеала морфизмов в Fστ, аннулируемых умножением на естественное преобразование σ. Умножая обе стрелки X' → Y и X → Y' на σ, получаем коммутативный квадрат с теми же вершинами в категории Fστ. Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C аннулируются функтором hτ (здесь подразумеваются исходные морфизмы X' → Y и X → Y'), и следовательно, по предположению, умножением на σ. Поэтому наш новый квадрат (коммутативный после умножения двух ребер на σ) можно единственным образом дополнить стрелкой X → Y в категории Fστ так, чтобы коммутативность сохранилась. Первая стрелка на классах Ext степени 0 построена. Отметим, что построенное отображение HomFτ(hτ(X),hτ(Y)) → HomFστ(X,Y) инъективно, поскольку всякий морфизм в категории Fστ, аннулируемый умножением на σ, аннулируется также функтором hτ. Далее, морфизм X → Y в категории Fστ лежит в образе отображения HomFτ(hτ(X),hτ(Y)) → HomFστ(X,Y) тогда и только тогда, когда к нему можно прикомпоновать допустимый эпиморфизм X' → X в категории Fστ так, чтобы композиция делилась на σ, и тогда и только тогда, когда к нему можно прикомпоновать допустимый мономорфизм Y → Y'' так, чтобы композиция делилась на σ. (Здесь снова нужно использовать предположение, что всякий морфизм в Fστ, аннулируемый умножением на σ, аннулируется функтором hτ.) Отсюда следует эквивалентность двух формулировок последнего условия в постинге по ссылке (использовавшаяся уже нами в предыдущем постинге). Используя теперь само это условие, можно заключить, что морфизм X → Y в категории Fστ лежит в образе отображения HomFτ(hτ(X),hτ(Y)) → HomFστ(X,Y) тогда и только тогда, когда он аннулируется функтором hσ, т.е., построенный фрагмент длинной последовательности точен в члене HomFστ(X,Y). Пусть имеется морфизм hσ(X) → hσ(Y) в категории Fσ. Снова можно подобрать допустимый эпиморфизм X' → X, допустимый мономорфизм Y → Y' и морфизмы X' → Y и X → Y' в категории Fστ, образы которых при функторе hσ вместе с исходным морфизмом образуют два коммутативных треугольника с общим ребром в точной категории Fσ. Квадрат из морфизмов в категории Fστ становится коммутативным после применения функтора hσ, и следовательно, согласно обсужденному выше предположению, коммутативен в категории Fστ по модулю идеала морфизмов, приходящих из Fτ. Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X и Y' → C -- коядро допустимого мономорфизма Y → Y'. Тогда композиции K → X' → Y и X → Y' → C аннулируются функтором hσ, и следовательно, приходят из морфизмов hτ(K) → hτ(Y) и hτ(X) → hτ(C) в категории Fτ. Разность двух композиций в квадрате морфизмов в категории Fστ тоже приходит из некоторого морфизма hτ(X') → hτ(Y') в категории Fστ. Вместе с образами точных троек K → X' → X и Y → Y' → C при функторе hτ, построенные три морфизма в категории Fτ образуют диаграмму из двух квадратов, один из которых коммутативен, а другой антикоммутативен. Такая диаграмма задает класс ExtFτ1(hτ(X),hτ(Y)) двумя двойственными способами, отличающимися знаком "минус". Третья стрелка на классах Ext степени 0 построена. (Read Comments | Comment on this)
5:53p	На этом абстрактно-категорная часть чаемой конструкции последовательности Бокштейна для артин-тейтовских мотивов с конечными коэффициентами над полями и ат-мотивных пучков над алгебраическими многообразиями в первом приближении закончена. (Точность первого приближения можно оценить, исходя из факта, что последнюю на данный момент блоху в постинге пятидневной давности и последующем я выловил прямо только что, как можно заметить, бросив беглый взгляд ниже на страницу этого журнала.) Вторая половина рассуждения должна быть привязана специфически к мотивам (или мотивным пучкам) и опираться на известные результаты о мотивных когомологиях (и, соответственно, вычисления с ат-мотивными пучками и пучковизацией Нисневича из статьи Artin-Tate motivic sheaves..., которую это рассуждение призвано дополнить). Дальнейшее обсуждение можно найти в конце постинга http://posic.livejournal.com/992748.html . (Read Comments | Comment on this)

<< Previous Day

2013/09/10 [Calendar]

Next Day >>