Еще о категорной последовательности Бокштейна - 5 Запишу все же еще немного подробностей, пока не забылось. Покажем, что построенный в постинге
http://posic.livejournal.com/997967.html фрагмент длинной последовательности точен в члене Hom
Fσ(h
σ(X),h
σ(Y)). Пусть h
σ(X) → h
σ(Y) -- морфизм в категории F
σ, и пусть X' → X и X' → Y -- допустимый эпиморфизм и какой-то морфизм в категории F
σ, образы которых при функторе h
σ образуют коммутативный треугольник с исходным морфизмом. Пусть K → X' -- ядро допустимого эпиморфизма X' → X; как мы помним, композиция K → X' → Y происходит из морфизма h
τ(K) → h
τ(Y) в категории F
τ.
Если точная тройка, индуцированная с точной тройки h
τ(K) → h
τ(X') → h
τ(X) с помощью морфизма h
τ(K) → h
τ(Y), расщепляется, то это значит, что последний морфизм факторизуется через допустимый мономорфизм h
τ(K) → h
τ(X'). Вычитая из морфизма X' → Y морфизм в категории F
στ, происходящий из полученного таким образом морфизма h
τ(X') → h
τ(Y), мы получаем новый морфизм X' → Y с тем же образом при функторе h
σ, что и первоначальный, но с дополнительным свойством аннулироваться композицией с допустимым мономорфизмом K → X'. Это позволяет поднять исходный морфизм h
σ(X) → h
σ(Y) до морфизма X → Y в категории F
στ.
Обсудим вопрос о построении отображения Ext
Fτn(h
τ(X),h
τ(Y)) → Ext
Fστn(X,Y) для всех когомологических степеней n. Сказанного в постинге по ссылке достаточно, чтобы с помощью леммы 4.5 получить две корректно определенные конструкции таких последовательностей отображений, "левую" и "правую". Остается показать, что они дают одинаковый результат, что достаточно проверять для n = 1.
Пусть имеются две точные тройки в категории F
στ; допустим, что в категории F
τ задан морфизм между образами этих точных троек при функторе h
τ. Переходя к морфизмам в категории F
στ, происходящим из этих трех морфизмов в категории F
τ, мы получаем, ввиду согласованности отображений Hom
Fτ(−,−) → Hom
Fστ(−,−) с композициями морфизмов (степени ноль), снова диаграмму из двух коммутативных квадратов, т.е., морфизм точных троек. Это доказывает искомое равенство двух отображений на классах Ext
1.
Построим теперь отображение Ext
Fσn(h
σ(X),h
σ(Y)) → Ext
Fτn+1(h
τ(X),h
τ(Y)) для всех степеней n. Снова, ввиду результатов постинга по ссылке и леммы 4.5, имеются корректно определенные "левая" и "правая" конструкции, и нужно только показать, что они дают результаты, отличающиеся знаком "минус". Снова достаточно проверять это для n = 1. Здесь аргумент является лишь слегка усложненной версией рассуждения из раздела 4.5 статьи в MMJ, и основан на предположении, что ко всякому морфизму в F
στ, аннулируемому функтором h
σ, можно прикомпоновать допустимый эпиморфизм так, чтобы композицию можно было поделить на σ.
Наконец, точность построенной длинной последовательности достаточно проверять, ввиду леммы 4.4, для начального фрагмента, состоящего только из групп Ext
0 и Ext
1. Проверим точность в члене Ext
Fτ1(h
τ(X),h
τ(Y)). Допустим, что композиция класса Ext
1, представленного точной тройкой Y' → Z' → X с морфизмом Y' → Y, приходящим из морфизма h
τ(Y') → h
τ(Y) в категории F
τ, равна нулю в категории F
στ. Это значит, что существует морфизм Z' → Y в категории F
στ, делающий треугольник Y' → Z' → Y коммутативным. Применяя функтор h
σ ко всей диаграмме, мы обнаруживаем, что морфизм h
σ(Y') → h
σ(Y) равен нулю, так что можно построить морфизм h
σ(X) → h
σ(Y), делающий треугольник h
σ(Z') → h
σ(X) → h
σ(Y) коммутативным. По определению граничного отображения в длинной последовательности, оно переводит построенный морфизм h
σ(X) → h
σ(Y) в композицию класса Ext
1, представленного точной тройкой h
τ(Y') → h
τ(Z') → h
τ(X) в категории F
τ, с исходным морфизмом h
τ(Y') → h
τ(Y), что и требовалось.
Осталось проверить точность в члене Ext
Fστ1(X,Y). Допустим, что образ точной тройки Y → Z → X в категории F
στ при функторе h
σ расщепляется в категории F
σ. Это значит, что существуют допустимый эпиморфизм X' → X с ядром K → X' и морфизм X' → Z в категории F
στ, такие что треугольник h
σ(X') → h
σ(Z) → h
σ(X) коммутативен в категории F
σ, а композиция K → X' → Z аннулируется функтором h
σ. Теперь, поскольку функтор h
σ отражает допустимые эпиморфизмы, а образ композиции морфизмов X' → Z → X при этом функторе равен образу морфизма X' → X, композиция морфизмов X' → Z → X тоже является допустимым эпиморфизмом в F
στ. Пусть L -- ее ядро; тогда функтор h
σ переводит морфизмы K → X' и L → X' в морфизмы в категории F
σ, отождествляемые некоторым изоморфизмом h
σ(K) = h
σ(L), ввиду точности функтора h
σ и единственности ядер. Поэтому композиция L → X' → Z тоже аннулируется функтором h
σ, и следовательно, приходит из морфизма h
τ(L) → h
τ(Z) в категории F
τ. Теперь мы можем заменить первоначальный морфизм X' → X на композицию X' → Z → X и сделать диаграмму в категории F
στ коммутативной.
Построенный морфизм h
τ(L) → h
τ(Z) аннулируется композицией с образом морфизма Z → X при функторе h
τ (поскольку морфизм L → Z аннулируется композицией с морфизмом Z → X), и следовательно, факторизуется через образ морфизма Y → Z при функторе h
τ. Класс Ext
1 в категории F
τ, индуцированный с образа точной тройки L → X' → X при функторе h
τ с помощью полученного таким образом морфизма h
τ(L) → h
τ(Y), являяется искомым прообразом класса тройки Y → Z → X в группе Ext
Fστ1(X,Y) при отображении Ext
Fτ1(h
τ(X),h
τ(Y)) → Ext
Fστ1(X,Y). Последнее утверждение следует просто из коммутативности диаграммы с пятью вершинами Y, Z, X, X', L в категории F
στ, представляющей собой морфизм коротких точных последовательностей с общим третьим объектом.