Лёня Посицельский's Journal

Гора родит смешную мышь
По некотором размышлении, похоже, в роли обещанных в предыдущих постингах "трудных теорем о мотивных когомологиях", которые нужно использовать, чтобы получить последовательности Бокштейна для групп Ext в моих точных категориях смешанных мотивов Артина-Тейта, оказываются, собственно, не теоремы, а гипотеза -- кошулевости алгебры когомологий Галуа (с коэффициентами в поле вычетов по модулю простого числа) соответствующей. Основное утверждение тогда принимает вид, что из гипотезы о глупых фильтрациях для артин-тейтовских мотивов с коэффициентами в поле вычетов по модулю простого числа следует такая же гипотеза с коэффициентами в кольце вычетов по модулю степени простого. Для полей, содержащих корни из единицы всех степеней, это было известно и раньше.

Трудность в том, чтобы показать (в обозначениях приблизительно из постинга http://posic.livejournal.com/992748.html ), что функтор F_{Z_l}/l → F_Z/l индуцирует инъективные отображения на группах Ext² между образующими объектами. Пока мы этого не знаем, этот функтор может быть, вообще говоря, не эквивалентностью, а вложением полной подкатегории, не замкнутой относительно расширений (убиваемые индуцированным отображением классы Ext² как раз и будут препятствиями к существованию в F_{Z_l}/l некоторых объектов, имеющихся в F_Z/l).

Вопрос в возможности поднять, с точностью до прикомпоновки допустимого эпиморфизма или допустимого мономорфизма, некий фильтрованный модуль, имеющйся в F_Z/l, до фильтрованного модуля в F_{Z_l}. Информация о группах Ext² и Ext³ между образующими объектами в F_Z/l, используемая с помощью категорных последовательностей Бокштейна из предыдущих постингов + предположений индукции по весам, позволяет, может быть, производить такой подъем шаг за шагом, увеличивая показатель при степени l каждый раз на единицу.

Интересно было бы поискать как наиболее общую формулировку таких результатов/рассуждений, так и какие-нибудь дополнительные приложения. Скажем, нельзя ли так доказать (используя редукции категорий, похожих не на фильтрованные, а на градуированные модули), что неотрицательно градуированное кольцо с полным кольцом дискретного нормирования в нулевой компоненте неплоско-кошулево тогда и только тогда, когда таково его факторкольцо по идеалу, порожденному униформизирующим элементом? Ср. со старым постингом http://posic.livejournal.com/425027.html