Редукция коэффициентов в мотивах Артина-Тейта - 2 Сохраним обозначения предыдущего постинга; в частности, если k -- полное нетерово локальное кольцо, то A
k обозначает точную категорию k-свободных k-контрамодульных k(Γ)-комодулей. Отметим, что согласно комодульно-контрамодульному соответствию над k, эта категория эквивалентна точной категории k-косвободных k-комодульных k(Γ)-комодулей (по поводу терминологии, см. препринт Weakly curved...)
Пусть также E
k0 обозначает аддитивную категорию конечно-порожденных перестановочных Γ/Δ-модулей над k (конечно-порожденных свободных k-модулей с базисом, переставляемым дискретным действием Γ/Δ), и пусть E
k0+ -- полная подкатегория в A
k, состоящая из прямых сумм объектов из E
k (где нужно перейти к k-косвободным k-комодульным дискретным Γ-модулям -- см. выше -- для того, чтобы в явном виде вычислять такие прямые суммы). Аддитивные категории E
k0 и E
k0+ снабжаются тривиальными (расщепимыми) структурами точных категорий.
Пусть теперь k -- полное кольцо дискретного нормирования. Будем строить редукции A
k/l
r, E
k0/l
r, E
k0+/l
r наших точных категорий, пользуясь следующими "консервативными точными функторами" в базовые точные категории (с тривиальными точными структурами): для категории A
k -- функтором редукции + забывания в категорию свободных k/l
r-модулей, для категории E
k0 -- функтором редукции в категорию E
k/lr0, для категории E
k0+ -- функтором редукции в категорию E
k/lr0+.
Лемма. 1) Естественный точный функтор A
k/l
r → A
k/lr является эквивалентностью точных категорий.
2) Естественный точный функтор E
k0/l
r → E
k/lr0 является эквивалентностью точных категорий.
3) Естественный точный функтор E
k0+/l
r → E
k/lr0+ является эквивалентностью точных категорий.
Набросок доказательства. Часть 1): группы Ext в обеих точных категориях между между объектами, пришедшими из точной категории A
k, включаются в длинную точную последовательность Бокштейна, в которой два из каждых трех подряд идущих членов суть группы Ext в A
k, а третий -- группа Ext в A
k/l
r или A
k/lr. Применительно к категории A
k/l
r, это частный случай общего результата про редукции точных категорий, а для категории A
k/lr это можно доказать, посчитав эти группы Ext с помощью кобар-резольвент. Нужно использовать известные результаты о согласованности операций на свободных k-контрамодулях или косвободных k-комодулях ((ко)тензорных произведений, прямых сумм и прямых произведений) с редукцией их по модулю идеалов в k.
Надо еще как-то проверить коммутативность получающейся диаграммы (морфизма длинных точных последовательностей). Проще всего, может быть, было бы это сделать, используя альтернативную конструкцию длинной точной последовательности для групп Ext в категории A
k/lr, основанную на общей технике "категорных последовательностей Бокштейна", развитой в предыдущей серии постингов. Из условий, перечисленных в постинге
http://posic.livejournal.com/996551.html , не очевидна (имея в виду рассуждения ниже) только возможность пропустить через любой допустимый мономорфизм в категории A
k/lr из объекта, пришедшего из A
k, допустимый мономорфизм, пришедший из A
k. Может быть, без этого условия можно обойтись (имея двойственное свойство) при построении последовательности Бокштейна.
Таким образом мы показали, что функтор A
k/l
r → A
k/lr индуцирует изоморфизмы групп Ext между объектами, пришедшими из A
k. Поскольку всякий объект точной категории A
k/l
r допускает левую и правую резольвенты из объектов, пришедших из A
k, отсюда следует, что наш функтор индуцирует изоморфизмы групп Ext между любыми парами объектов. Такой точный функтор между точными категориями является вложением полной подкатегории, замкнутой относительно расширений, снабженной индуцированной структурой точной категории.
Остается показать, что наш функтор сюръективен на классах изоморфизма объектов. Вот явная конструкция его сечения (доказывающая заодно и сюръективность на морфизмах, и вообще делающая ненужными предыдущие три абзаца). Пусть M -- k/l
r-косвободный дискретный G-модуль; поскольку в абелевой категории k-комодульных k(G)-модулей достаточно много инъективных объектов, являющихся к тому же косвободными k-комодулями, M можно вложить в такой объект I. Поскольку k -- кольцо дискретного нормирования, факторкомодуль J = I/M тоже k-косвободен.
Теперь отображение l
r: I → I сюръективно с ядром, содержащим M, так что оно разлагается в композицию уже имеющегося у нас отображения I → J и некоторого сюръективного гомоморфизма G-модулей J → I над k. Композиция J → I → J тоже равна умножению на l
r, что можно проверить, прикомпоновав к ней сюръекцию I → J. Мы построили матричную факторизацию, представляющую искомый объект редуцированной категории (переход к подмодулям элементов, аннулируемых l
r, превращает эту матричную факторизацию в точную последовательность, поскольку дифференциалы в ней сюръективны, и k/l
r-модули коциклов в этой точной последовательности косвободны, поскольку таков один из этих модулей, по построению изоморфный M).
Часть 2): на самом деле, здесь нужно прежде всего доказывать, что редуцированная точная категория E
k0/l
r определена, или конкретнее, что функтор редукции E
k → E
k/lr "точно консервативен". Это результат леммы из черновика
http://posic.livejournal.com/991804.html .
Теперь, сравнивая точную последовательность Бокштейна для групп Ext в категории E
k0/l
r с первым утверждением той же леммы, описывающим группы морфизмов в категории E
k/lr0, можно убедиться, что функтор E
k0/l
r → E
k/lr индуцирует изоморфизмы групп Ext между объектами, приходящими из E
k. Согласно третьему абзацу рассуждения для части 1) выше, остается отметить, что наш функтор сюръективен на классах изоморфизма объектов. В самом деле, через него пропускается функтор из категории E
k, очевидным образом обладающий этим свойством.
Часть 3): здесь задача состоит в том, чтобы доказать аналог леммы из черновика для модулей из E
k0+. Морфизмы между двумя такими модулями образуют k-свободный k-контрамодуль, на котором Γ/Δ действует (как абстрактная группа) k-контрамодульными автоморфизмами. Вычисляется этот k-контрамодуль с действием Γ/Δ как бесконечное произведение бесконечных прямых сумм (в категории k-свободных k-контрамодулей) k-конечно-порожденных k-свободных перестановочных G-модулей. Нетрудно видеть, что переход к подконтрамодулям Γ/Δ-инвариантных элементов в таких контрамодулях коммутирует с редукцией по идеалам в k. Дальше аргумент продолжается, как в доказательстве леммы для конечно-порожденных перестановочных модулей по ссылке.