Лёня Посицельский's Journal

Лёня Посицельский's Journal

[Most Recent Entries] [Calendar View]

Wednesday, September 18th, 2013

Time	Event
`8:31p`	В.А. Васильев о научной математике в постсоветской России Ссылка не новая, и ряд юзеров ее уже давали здесь в ЖЖ, дам и я -- http://www.polit.ru/article/2013/09/10/vassiliev_math_conf_ras/ (Read Comments \| Comment on this)
`9:16p`	Редукция коэффициентов в мотивах Артина-Тейта - 3 Мы сохраняем обозначения и терминологию постинга http://posic.livejournal.com/1000074.html . Теорема 1. Если основная гипотеза выполняется для точной категории F_k (см. также дополнительные предположения ниже), то она выполняется и для точной категории F_k/l^r. Доказательство. Функтор забывания фильтраций индуцирует гомоморфизм из длинной точной последовательности Ext_{F_k}ⁿ(X,Y) → Ext_{F_k}ⁿ(X,Y) → Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k}ⁿ⁺¹(X,Y) → в длинную точную последовательность Ext_{A_k}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k}ⁿ⁺¹(X,Y) → для всех объектов X, Y ∈ F_k (см. ранний постинг http://posic.livejournal.com/992481.html и утверждение 1 леммы из предыдущего постинга http://posic.livejournal.com/1000410.html ). Рассмотрим частный случай пары объектов X ∈ E_k⁰ и Y ∈ E_k⁰(m) ⊂ F_k. Согласно 5-лемме можно заключить, что отображение Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) является изоморфизмом для n < m и мономорфизмом для n = m. При этом для сюръективности этого отображения при n = m достаточно сюръективности отображения Ext_{A_k}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r). А при n > m группа Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) зануляется. Принимая во внимание, что, как мы знаем, отображение Ext_{A_k}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) сюръективно при n = m = 0 (см. лемму из черновика http://posic.livejournal.com/991804.html ) и предполагая дополнительно, что оно сюръективно при n = m = 1 (ср. Update внизу постинга по верхней ссылке), можно заключить, что отображение Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) является изоморфизмом для n ≤ min(1,m) и мономорфизмом для n = 2. Вспомним теперь, что функтор F_k/l^r → A_k/l^r разлагается в композицию точных функторов F_k/l^r → F_k/l^r → A_k/l^r, так что и отображение Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) разлагается в композицию Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r). Из предыдущего абзаца теперь следует, что отображение Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) является изоморфизмом для n ≤ 1 и мономорфизмом для n = 2 (при всех m). Далее, заметим, что всякий объект категории F_k/l^r, по построению, допускает каноническую конечную фильтрацию с присоединенными факторами из своих полных точных подкатегорий E_k⁰(j)/l^r ⊂ F_k/l^r, эквивалентных, согласно утверждению 2 леммы из предыдущего постинга, полным точным подкатегориям E_k/l^r(j) ⊂ F_k/l^r, играющим аналогичную роль в точной категории F_k/l^r. Согласно лемме 3.2 из статьи Mixed Artin-Tate motives, можно заключить, что функтор F_k/l^r → F_k/l^r является эквивалентностью точных категорий. Теперь у нас есть длинная точная последовательность Бокштейна, связывающая группы Ext между любыми объектами, приходящими из F_k, в точных категориях F_k и F_k/l^r. Наконец, расширяя наши дополнительные предположения до того, чтобы отображение Ext_{A_k}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) было сюръективно для всех X ∈ E_k⁰, Y ∈ E_k⁰(m) и n = m, мы можем сделать вывод, что отображение Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) является изоморфизмом для всех n ≤ m, что и требовалось. (Read Comments \| Comment on this)
`11:57p`	Редукция коэффициентов в мотивах Артина-Тейта - 4 Теорема 2. Если основная гипотеза выполняется для точной категории F_k/l, то она выполняется и для точной категории F_k/l^r. Доказательство. Не используя пока никаких предположений об основной гипотезе, рассмотрим гомоморфизм длинных точных последовательностей из предыдущего постинга. Ввиду леммы 3.1(2) из статьи Mixed Artin-Tate motives..., примененной к точной категории F_k, согласно 5-лемме можно заключить, что отображение Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) для X ∈ E_k⁰ и Y ∈ E_k⁰(m) ⊂ F_k является изоморфизмом при n = 0 ≤ m и мономорфизмом при n = 1. При этом для сюръективности этого отображения при n = m = 1 достаточно сюръективности отображения Ext_{A_k}¹(X,Y) → Ext_{A_k/l^r}¹(X/l^r,Y/l^r), а при n > m группа Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) зануляется. Поэтому отображение Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) является изоморфизмом для n = 0, а также для n = 1 ≥ m, и мономорфизмом для n = 1 при всех m. Таким образом, функтор F_k/l^r → F_k/l^r не только сохраняет и отражает точность троек (а также допустимые эпиморфизмы и мономорфизмы), но и является вполне строгим, причем в его образе лежат все объекты категории F_k/l^r, сосредоточенные не более, чем в двух последовательных компонентах фильтрации. Далее, функтор забывания фильтраций индуцирует гомоморфизм из длинной точной последовательности Ext_{F_k/l}ⁿ(X/l,Y/l) → Ext_{F_k/l^r+1}ⁿ(X/l^r+1,Y/l^r+1) → Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k/l}ⁿ⁺¹(X/l,Y/l) → в длинную точную последовательность Ext_{A_k/l}ⁿ(X/l,Y/l) → Ext_{A_k/l^r+1}ⁿ(X/l^r+1,Y/l^r+1) → Ext_{A_k/l^r}ⁿ(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l}ⁿ⁺¹(X/l,Y/l) → для всех объектов X, Y ∈ F_k (см. постинг http://posic.livejournal.com/995400.html и утверждение 1 леммы из постинга http://posic.livejournal.com/1000410.html ). Нас будет интересовать частный случай пары объектов X ∈ E_k⁰ и Y ∈ E_k⁰(m) ⊂ F_k. Будем доказывать сюръективность функтора F_k/l^r → F_k/l^r на объектах, сосредоточенных не более, чем в m + 1 последовательных компонентах фильтрации (или, что то же самое, сюръективность отображений Ext_{F_k/l^r}¹(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k/l^r}¹(X/l^r,Y/l^r) и инъективность отображений Ext_{F_k/l^r}²(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{F_k/l^r}²(X/l^r,Y/l^r) для X ∈ E_k⁰ и Y ∈ E_k⁰(≤m) ⊂ F_k) сразу для всех r ≥ 1 возрастающей индукцией по m ≥ 1. База индукции (m = 1) у нас уже есть, так что ниже мы предполагаем m ≥ 2. Из предположения индукции для m − 1 следует сюръективность отображений Ext_{F_k/l^s}²(X/l^s,Y/l^s) → Ext_{F_k/l^s}²(X/l^s,Y/l^s) и инъективность отображений Ext_{F_k/l^s}³(X/l^s,Y/l^s) → Ext_{F_k/l^s}³(X/l^s,Y/l^s) для X ∈ E_k⁰ и Y ∈ E_k⁰(m). Используя, наконец, основную гипотезу для точной категории F_k/l, можно сделать вывод о сюръективности отображения Ext_{F_k/l}²(X/l,Y/l) → Ext_{A_k/l}²(X/l,Y/l) и инъективности отображения Ext_{F_k/l}³(X/l,Y/l) → Ext_{A_k/l}³(X/l,Y/l). Из гомоморфизма длинных точных последовательностей выше теперь видно, что всякий элемент из ядра отображения Ext_{F_k/l^r}²(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}²(X/l^r,Y/l^r) поднимается до элемента из ядра отображения Ext_{F_k/l^r+1}²(X/l^r+1,Y/l^r+1) → Ext_{A_k/l^r+1}²(X/l^r+1,Y/l^r+1). Аналогично, предполагая отображение Ext_{F_k/l^r+1}²(X/l^r+1,Y/l^r+1) → Ext_{A_k/l^r+1}²(X/l^r+1,Y/l^r+1) инъективным для X ∈ E_k⁰ и Y ∈ E_k⁰(m) и используя еще раз сюръективность отображения Ext_{F_k/l}²(X/l,Y/l) → Ext_{A_k/l}²(X/l,Y/l), из гомоморфизма длинных точных последовательностей можно сделать вывод, что всякий элемент из коядра отображения Ext_{F_k/l^r}¹(X/l^r,Y/l^r) → Ext_{A_k/l^r}¹(X/l^r,Y/l^r) поднимается до элемента из коядра отображения Ext_{F_k/l^r+1}¹(X/l^r+1,Y/l^r+1) → Ext_{A_k/l^r+1}¹(X/l^r+1,Y/l^r+1). (Read Comments \| Comment on this)

<< Previous Day 2013/09/18
[Calendar] Next Day >>