Лёня Посицельский's Journal

Лёня Посицельский's Journal

[Most Recent Entries] [Calendar View]

Sunday, September 22nd, 2013

Time	Event
`8:34p`	Редукция коэффициентов в мотивах Артина-Тейта - 8 Теперь, когда эквивалентность точных категорий F_k⁺/l^r = F_k/l^r⁺ установлена, мы можем закончить доказательство теоремы 2. Для всех натуральных r > s > 0, имеем естественный гомоморфизм из длинной точной последовательности Ext_{F_k/l^s⁺}ⁿ(X/l^s,Y/l^s) → Ext_{F_k/l^r⁺}ⁿ(X,Y) → Ext_{F_k/l^r−s⁺}ⁿ(X/l^r−s,Y/l^r−s) → Ext_{F_k/l^s⁺}ⁿ⁺¹(X/l^s,Y/l^s) → в длинную точную последовательность Ext_{A_k/l^s⁺}ⁿ(X/l^s,Y/l^s) → Ext_{A_k/l^r⁺}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k/l^r−s⁺}ⁿ(X/l^r−s,Y/l^r−s) → Ext_{A_k/l^s⁺}ⁿ⁺¹(X/l^s,Y/l^s) → для всех объектов X, Y ∈ F_k/l^r⁺ (см. постинг http://posic.livejournal.com/996551.html и последующие в этой серии). Ввиду леммы из постинга http://posic.livejournal.com/1002223.html , группы Ext в "больших" точных категориях F_k/l^t⁺ и A_k/l^t⁺ согласованы с таковыми же в "малых" точных категориях F_k/l^t и A_k/l^t. Нас будет интересовать частный случай пары объектов X ∈ E_k/l^r⁰⁺ и Y ∈ E_k/l^r⁰⁺(m) ⊂ F_k/^r⁺, и в особенности, X ∈ E_k/l^r⁰ и Y ∈ E_k/l^r⁰(m) ⊂ F_k/l^r. Теперь если отображения Ext_{F_k/l^s⁺}ⁿ(X/l^s,Y/l^s) → Ext_{A_k/l^s⁺}ⁿ(X/l^s,Y/l^s) и Ext_{F_k/l^r−s⁺}ⁿ(X/l^r−s,Y/l^r−s) → Ext_{A_k/l^r−s⁺}ⁿ(X/l^r−s,Y/l^r−s) являются изоморфизмами при n ≤ m, и при этом отображения Ext_{A_k/l^r⁺}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k/l^r−s⁺}ⁿ(X/l^r−s,Y/l^r−s) сюръективны при n = m, то отображения Ext_{F_k/l^r⁺}ⁿ(X,Y) → Ext_{A_k/l^r⁺}ⁿ(X,Y) являются изоморфизмами при n ≤ m ввиду 5-леммы. Поскольку мы предполагаем основную гипотезу для точных категорий F_k/l или F_k/l⁺, основная гипотеза для точных категорий F_k/l^r или F_k/l^r⁺ выводится простой индукцией по r. (Read Comments \| Comment on this)
`10:23p`	Редукция коэффициентов в мотивах Артина-Тейта: заключение - 1 Теперь, когда доказательства в первом приближении написаны, можно сформулировать, что же, собственно, нам, кажется, удалось доказать. Сначала повторим еще раз обозначения, а то они немного менялись от начала этой серии постингов к концу. Пусть Γ -- проконечная группа, Δ -- ее нормальная подгруппа, k -- полное нетерово локальное кольцо, χ: Γ → k* -- непрерывный характер. Пусть A = A_k обозначает точную категорию конечно-порожденных свободных k-модулей с непрерывным действием G, а A⁺ = A_k⁺ -- точную категорию k-свободных k-контрамодульных k(Γ)-комодулей. Согласно комодульно-контрамодульному соответствию над k, категория A_k эквивалентна точной категории косвободных k-(ко)модулей конечного ранга с дискретным действием G, а категория A_k⁺ -- точной категории произвольных косвободных k-(ко)модулей с дискретным действием G. Пусть E_k⁰ обозначает аддитивную категорию конечно-порожденных перестановочных Γ/Δ-модулей над k (конечно-порожденных свободных k-модулей с базисом, переставляемым дискретным действием Γ/Δ), и пусть E_k⁰⁺ -- полная подкатегория в A_k⁺, состоящая из прямых сумм объектов из E_k⁰ (где нужно перейти к k-косвободным k-комодульным дискретным Γ-модулям -- см. выше -- для того, чтобы в явном виде вычислять такие прямые суммы). Аддитивные категории E_k⁰ и E_k⁰⁺ снабжаются тривиальными (расщепимыми) структурами точных категорий. Обозначим через E = E_k категорию Γ-модулей над k, градуированных целыми числами, в которых компонента степени j представляет собой некоторый объект категории E_k⁰ с действием Γ, подкрученным на χ^j. Аналогично, E⁺ = E_k⁺ обозначает категорию градуированных k-контрамодульных k(Γ)-комодулей, в которых компонента степени j есть некоторый объект категории E_k⁰⁺ с действием Γ, подкрученным на χ^j. Как и выше (и ниже), можно использовать косвободные k-(ко)модули вместо свободных k-контрамодулей. Пусть F = F_k -- категория конечно фильтрованных k-модулей с конечно-порожденными свободными присоединенными факторами, снабженных непрерывным действием группы Γ, согласованным с фильтрацией, присоединенные факторы которых по фильтрации суть градуированные Γ-модули из категории Е. Аналогично, F⁺ = F_k⁺ -- это категория конечно фильтрованных k-контрамодулей со свободными присоединенными факторами, снабженных кодействием k-контрамодульной коалгебры k(Γ), согласованным с фильтрацией, присоединенные факторы которых по фильтрации суть градуированные Γ-модули из категории Е⁺. Аддитивные категории Е и E⁺ снабжаются тривиальными структурами точных категорий, категории F и F⁺ -- структурами точных категорий, в которой тройка с нулевой композицией точна, если соответствующая тройка присоединенных факторов точна в E или E⁺ (т.е., расщепимо точна). Обозначим через X → X(j) функторы подкрутки на категориях E, E⁺, F, F⁺, сдвигающие номера фильтрации/градуировки на j и одновременно подкручивающие действие Γ на χ^j (а также функторы подкрутки на категориях A и A⁺, просто подкручивающие действие Γ на χ^j). (Read Comments \| Comment on this)
`11:09p`	Редукция коэффициентов в мотивах Артина-Тейта: заключение - 2 Пусть теперь k -- кольцо дискретного нормирования с униформизующим элементом l, и r ≥ 1 -- натуральное число. Редуцированные точные категории F_k/l^r и F_k⁺/l^r строятся с помощью "точно консервативных" функторов (редукции по l^r плюс перехода к присоединенному градуированному фактору/забывания действия Γ) в следующие базовые точные категории: для точной категории F_k -- в декартово произведение расщепимой точной категории E_k/l^r и расщепимой точной категории конечно фильтрованных k/l^r-модулей c конечно-порожденными свободными присоединенными факторами; для точной категории F_k⁺/l^r -- в декартово произведение расщепимой точной категории E_k/l^r⁺ и расщепимой точной категории конечно фильтрованных k/l^r-модулей c (ко)свободными присоединенными факторами. Теорема 1. а) Если основная гипотеза выполняется для точной категории F_k и естественные отображения Ext_{A_k⁺}¹(X,Y(1)) → Ext_{A_k/l^r⁺}¹(X/l^r,Y/l^r(1)) сюръективны для всех X, Y ∈ E_k⁰, то естественный функтор F_k/l^r → F_k/l^r является эквивалентностью точных категорий. Если при этом естественные отображения Ext_{A_k⁺}ⁿ(X,Y(n)) → Ext_{A_k/l^r⁺}ⁿ(X/l^r,Y/l^r(n)) сюръективны для всех X, Y ∈ E_k⁰ и n ≥ 1, то основная гипотеза выполняется и для точной категории F_k/l^r. б) Если основная гипотеза выполняется для точной категории F_k⁺ и естественные отображения Ext_{A_k⁺}¹(X,Y(1)) → Ext_{A_k/l^r⁺}¹(X/l^r,Y/l^r(1)) сюръективны для всех X, Y ∈ E_k⁰⁺, то естественный функтор F_k⁺/l^r → F_k/l^r⁺ является эквивалентностью точных категорий. Если при этом естественные отображения Ext_{A_k⁺}ⁿ(X,Y(n)) → Ext_{A_k/l^r⁺}ⁿ(X/l^r,Y/l^r(n)) сюръективны для всех X, Y ∈ E_k⁰⁺ и n ≥ 1, то основная гипотеза выполняется и для точной категории F_k/l^r⁺. в) Основная гипотеза выполняется для точной категории F_k/l^r⁺ тогда и только тогда, когда она выполняется для точной категории F_k/l^r. г) Если естественные функторы F_k/l^r → F_k/l^r, F_k/l^s → F_k/l^s, F_k/l^r−s → F_k/l^r−s являются эквивалентностями точных категорий для некоторых натуральных r > s > 0, то для всех объектов X и Y ∈ F_k/l^r имеется естественная длинная точная последовательность Бокштейна Ext_{F_k/l^s}ⁿ(X/l^s,Y/l^s) → Ext_{F_k/l^r}ⁿ(X,Y) → Ext_{F_k/l^r−s}ⁿ(X/l^r−s,Y/l^r−s) → Ext_{F_k/l^s}ⁿ⁺¹(X/l^s,Y/l^s) → д) Если естественные функторы F_k⁺/l^r → F_k/l^r⁺, F_k⁺/l^s → F_k/l^s⁺, F_k⁺/l^r−s → F_k/l^r−s⁺ являются эквивалентностями точных категорий для некоторых натуральных r > s > 0, то для всех объектов X и Y ∈ F_k/l^r⁺ имеется естественная длинная точная последовательность Бокштейна Ext_{F_k/l^s⁺}ⁿ(X/l^s,Y/l^s) → Ext_{F_k/l^r⁺}ⁿ(X,Y) → Ext_{F_k/l^r−s⁺}ⁿ(X/l^r−s,Y/l^r−s) → Ext_{F_k/l^s⁺}ⁿ⁺¹(X/l^s,Y/l^s) → Пункт а) следующей теоремы является основным и самым трудным здесь результатом. Теорема 2. а) Предположим, что характер χ mod l: Γ → (k/l)* аннулирует подгруппу Δ ⊂ Γ, естественные отображения Ext_{A_k⁺}¹(X,Y(1)) → Ext_{A_k/l^r⁺}¹(X/l^r,Y/l^r(1)) сюръективны для всех X, Y ∈ E_k⁰⁺, и точная категория F_k/l^t⁺ удовлетворяет основной гипотезе для некоторого фиксированного натурального t ≥ 1. Тогда естественный функтор F_k⁺/l^r → F_k/l^r⁺ является эквивалентностью точных категорий для всех натуральных r ≥ 1. б) Если, дополнительно к предположениям пункта а), отображения Ext_{A_k/l^r⁺}ⁿ(X,Y(n)) → Ext_{A_k/l^s⁺}ⁿ(X/l^s,Y/l^s(n)) сюръективны для всех X, Y ∈ E_k/l^r⁰⁺, n ≥ 1 и r > s > 0, то точные категории F_k/l^r⁺ удовлетворяют основной гипотезе для всех натуральных r, делящихся на t. (Read Comments \| Comment on this)

<< Previous Day 2013/09/22
[Calendar] Next Day >>