Лёня Посицельский's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
Friday, October 4th, 2013
| Time |
Event |
| 7:09p |
Относительная неоднородная кошулева двойственность (набросок)
Конечно-проективной справа кошулевой CDG-алгеброй над коммутативным кольцом R называется CDG-кольцо (B,d,h), когомологически градуированное неотрицательными целыми числами, снабженное гомоморфизмом колец R → B0, образ которого лежит в центре B (но не обязательно аннулируется дифференциалом d), такое что компоненты Bi градуированного кольца B являются конечно-порожденными проективными правыми B0-модулями и градуированное кольцо B кошулево.
Неоднородной конечно-проективной слева кошулевой квазиалгеброй над коммутативным кольцом R называется кольцо A~, снабженное исчерпывающей возрастающей мультипликативной фильтрацией F0A~ ⊂ F1A~ ⊂ F2A~ ⊂ ... и гомоморфизмом колец R → F0A~, такими что присоединенное градуированное кольцо A = grFA~ кошулево с компонентами, являющимися конечно-порожденными проективными левыми модулями над A0 = F0A~, причем образ отображения R → A0 лежит в центре градуированного кольца A (но не обязательно в центре фильтрованного кольца A~).
Теорема 1 (Пуанкаре-Биркгофа-Витта для неоднородных кошулевых алгебр над базовым кольцом): зафиксируем кольцо A0 = B0 вместе с гомоморфизмом в его центр из коммутативного кольца R. Тогда категории конечно-проективных справа кошулевых CDG-алгебр B над R (с таким кольцом B0 и гомоморфизмом R → B0) и неоднородных конечно-проективных слева кошулевых квазиалгебр A~ над R (с таким кольцом A0 = F0A~ и гомоморфизмом R → A0) естественным образом антиэквивалентны.
Теорема 2 (производной неоднородной кошулевой двойственности над базовым кольцом): пусть конечно-проективная справа кошулева CDG-алгебра (B,d,h) соответствует неоднородной конечно-проективной слева кошулевой квазиалгебре A~ над кольцом R при антиэквивалентности категорий из теоремы 1. Тогда полукопроизводная категория комплексов правых модулей над A~ (относительно F0A~) эквивалентна копроизводной категории правых CDG-комодулей над (B,d,h), а полуконтрапроизводная категория комплексов левых модулей над A~ (относительно F0A~) эквивалентна контрапроизводной категории левых CDG-контрамодулей над (B,d,h).
Определение: пусть S и T -- ассоциативные кольца. S-T-бимодуль K, являющийся конечно-порожденным проективным левым S-модулем, называется T-бидуализуемым справа, если левый T-модуль HomS(K,S) конечно-порожден и проективен. Аналогично, S-T-бимодуль L, являющийся конечно-порожденным проективным правым T-модулем, называется S-бидуализуемым слева, если правый S-модуль HomTop(K,T) конечно-порожден и проективен. Функтор K → HomT(HomS(K,S),T) и обратный к нему HomSop(HomTop(L,T),S) устанавливают эквивалентность между тензорными точными категориями S-T-бимодулей, конечно-порожденных и проективных над S слева и Т-бидуализуемых справа, и S-T-бимодулей, конечно-порожденных и проективных над T справа и S-бидуализуемых слева.
Лемма? 1: Эквивалентность B → HomS(HomS(B,S),S) между категориями неотрицательно градуированных колец B с нулевой компонентой B0 = S, компоненты которых конечно-порождены и проективны над S слева и S-бидуализуемы справа, и компоненты которых конечно-порождены и проективны над S справа и S-бидуализуемы слева, переводит CDG-кольца в CDG-кольца.
Теорема? 3 (комодульно-контрамодульное соответствие для CDG-колец над гомологически конечномерным базовым кольцом): допустим, что ассоциативное кольцо S имеет конечную левую гомологическую размерность, и пусть неотрицательно градуированные CDG-кольца B' и B'' переводятся друг в друга соответствием из леммы 1 (причем компоненты B' конечно-порождены и проективны над S слева и S-бидуализуемы справа, а компоненты B'' конечно-порождены и проективны над S справа и S-бидуализуемы слева). Тогда имеется естественная эквивалентность между копроизводной категорией левых CDG-комодулей над B' и контрапроизводной категорией левых CDG-контрамодулей над B''.
Лемма? 2: Пусть (A~,F) -- фильтрованное кольцо, присоединенное градуированное кольцо которого A = grFA~ имеет компоненты, конечно-порожденные и проективные над A0 как слева, так и справа, и является при этом кошулевым. Тогда конечно проективное справа кошулево CDG-кольцо B'', сопоставляемое неоднородному конечно проективному слева кошулеву кольцу A~ конструкцией из теоремы 1, и конечно проективное слева кошулево кольцо B', сопоставляемое неоднородному конечно проективному справа кошулеву кольцу A~ конструкцией, противоположной (т.е., отличающейся перестановкой всех множителей в обратном порядке в) конструкции из теоремы 1, переводятся одно в другое соответствием из леммы 1.
Теорема? 4 (неоднородная кошулева тройственность над гомологически конечномерным базовым кольцом): пусть (A~,F) -- фильтрованное кольцо, присоединенное градуированное кольцо которого A = grFA~ имеет компоненты, конечно-порожденные и проективные над A0 как слева, так и справа, и является при этом кошулевым. Рассмотрим соответствующие CDG-кольца B' и B'' из леммы 2. Предположим, что кольцо A0 имеет конечную левую гомологическую размерность. Тогда эквивалентности между производной категорией левых A~-модулей, копроизводной категорией левых CDG-комодулей над B', и контрапроизводной категорией левых CDG-контрамодулей над B'' из теоремы 2, ее двойственной версии, и теоремы 3 образуют коммутативную треугольную диаграмму.
Замечание: хотелось бы избавиться от условия конечности гомологической размерности в теоремах 3-4, заменив копроизводную и контрапроизводную категорию CDG-ко/контрамодулей на их соответствующие факторкатегории (те, которые эквивалентности категорий из теоремы 3 отождествляют с обычными производными, а не полупроизводными категориями комплексов A~-модулей). | | 9:59p |
Относительная неоднородная кошулева двойственность - 2
Пусть X -- схема, рассматриваемая либо в топологии Зарисского, либо в этальной топологии (как вариант, в чем-то даже самый лучший, можно считать X комплексно-аналитическим пространством, но тут надо знать что-то про аналитические пучки, чего я не). Престэком градуированных колец на X называется следующий набор данных:
- каждому открытому подмножеству в X (соотв., схеме, этальной над X) сопоставляется градуированное кольцо;
- каждому вложению открытых подмножеств (морфизму схем, этальных над X) сопоставляется морфизм градуированных колец;
- каждой цепочке из трех вложенных открытых подмножеств сопоставляется обратимый элемент степени ноль в градуированном кольце, соответствующем меньшему из этих трех, такой что композиция морфизмов градуированных колец, соответствующая двум вложениям, отличается от морфизма, соответствующего сквозному вложению, на внутренний автоморфизм, связанный с этим элементом.
При этом для каждой цепочки из четырех вложенных открытых подмножеств должно выполняться "уравнение коцикла" (одно произведение двух обратимых элементов степени ноль равно другому), связанное с двумя способами разбить квадрат на два треугольника.
Престэк градуированных колец на X называется стэком, если для любого покрытия одного открытого подмножества в X другими открытыми подмножествами кольцо, связанное с большим открытым подмножествам, восстанавливается по кольцам, связанным с открытыми подмножествами, образующими покрытие, и их парными пересечениями по правилу, похожему на обычную аксиому пучка. Первое условие состоит в том, что элемент кольца над большим открытым подмножествам однозначно восстанавливается по своим "квазиограничениям" на открытые подмножества, образующие покрытие; ну и второе условие похоже на обычное (нужно только правильно учесть подкрутки на внутренние автоморфизмы в формулировке условий согласования на парных пересечениях).
Престэком градуированных колец OX-модулей называется престэк градуированных колец на X, такой что для каждого открытого подмножества в X задано отображение в нулевую компоненту центра соответствующего градуированного кольца из кольца регулярных функций на этом открытом подмножестве, согласованное с отображениями ограничения регулярных функций и квазиограничения сечений престэка. Престэк градуированных колец OX-модулей называется квазикогерентным, если для любых двух вложенных открытых подмножеств X, являющихся аффинными схемами, отображение квазиограничения отождествляет градуированное кольцо, связанное с меньшим открытым подмножеством, с расширением скаляров с помощью отображения ограничения на регулярных функциях в кольце, связанном с большим открытым подмножеством.
(Продолжение следует.) | | 11:01p |
Из подзамочного обсуждения вопросов бесконечности рожденное
Мои комменты из-под замка:
0. <...> а вот после бесконечности идет число "бесконечность плюс один".
Один, два, три, ..., эн, ..., бесконечность, бесконечность плюс один, бесконечность плюс два, ..., бесконечность плюс эн, ..., бесконечность плюс бесконечность (она же "бесконечность умножить на два"), бесконечность плюс бесконечность плюс один, бесконечность плюс бесконечность плюс два, ..., бесконечность плюс бесконечность плюс бесконечность (она же "бесконечность умножить на три"), ..., бесконечность умножить на бесконечность, (бесконечность умножить на бесконечность) плюс один, ...
Эта математическая конструкция называется "ряд ординалов".
1. <...> И вообще, числовой ряд имеет вид:
ноль, один, два, ..., эн, ...
..., бесконечность пополам минус эн, ..., бесконечность пополам минус два, бесконечность пополам минус один, бесконечность пополам, бесконечность пополам плюс один, бесконечность пополам плюс два, ..., бесконечность пополам плюс эн, ...
..., бесконечность минус эн, ..., бесконечность минус два, бесконечность минус один, бесконечность.
Как в полубесконечных (ко)гомологиях.
***
Будем считать обычные когомологии (скажем, алгебр Ли) занумерованными индексами ноль, один, два, ..., эн, ... Обычные гомологии -- индексами ..., бесконечность минус эн, ..., бесконечность минус два, бесконечность минус один, бесконечность. А полубесконечные гомологии и когомологии -- естественно, индексами ..., бесконечность пополам минус эн, ..., бесконечность пополам минус два, бесконечность пополам минус один, бесконечность пополам, бесконечность пополам плюс один, бесконечность пополам плюс два, ..., бесконечность пополам плюс эн, ...
На какую мысль наводит нас эта картина? Конечно, на мысль о (ко)гомологических умножениях. Умножение в когомологиях и действие когомологий в гомологиях -- согласованы с такой градуировкой-индексацией "бесконечностями". Но как насчет мультипликативных операций в полубесконечных (ко)гомологиях?
Ясно, что обычные когомологии действуют на полубесконечных гомологиях и когомологиях; это мы всегда знали. Нарисованная картина, однако, подсказывает мысль о еще одной мультипликативной операции -- умножении полубесконечных гомологий на полубесконечные когомологии с получением классов обычных гомологий. И в самом деле...
***
Пусть S -- полуалгебра над коалгеброй или кокольцом (удовлетворяющая обычным условиям). Пусть N -- правый S-полумодуль, M -- левый S-полумодуль, P -- левый S-полуконтрамодуль (или комплексы таковых). Пусть заданы классы гомологий t в SemiTorS(N,M) и когомологий ξ в SemiExtS(M,P). Мы хотим построить по ним нечто, заслуживающее наименования "класса обычных гомологий".
Ну, в самом деле, пусть LΦ обозначает производный функтор "ко-контра соответствия", преобразующий комплексы левых S-полуконтрамодулей в комплексы левых S-полумодулей. Тогда класс ξ можно интерпретировать как морфизм M → LΦ(P) в полупроизводной категории левых S-полумодулей. Применяя этот морфизм к классу полубесконечных гомологий t, получаем элемент ξ(t) в группе SemiTorS(N,LΦ(P)).
Последняя, как известно, изоморфна CtrTorS(N,P). Но CtrTor -- это и есть самые обычные гомологии! Левый производный функтор точного справа функтора контратензорного произведения -- ближайшего аналога обычного тензорного произведения в мире полубесконечных модульных объектов.
Ура! (Но почему я не придумал этого пять лет назад?) |
|