Лёня Посицельский's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
Saturday, October 5th, 2013
| Time |
Event |
| 11:46a |
Относительная неоднородная кошулева двойственность - 3 Престэком фильтрованных колец на X называется следующий набор данных: - каждому открытому подмножеству в X (соотв., схеме, этальной над X) сопоставляется фильтрованное кольцо с возрастающей фильтрацией неотрицательными целыми числами; - каждому вложению открытых подмножеств сопоставляется морфизм фильтрованных колец; - каждой цепочке из трех вложенных открытых подмножеств сопоставляется обратимый элемент в нулевой компоненте фильтрации кольца, соответствующего меньшему из этих трех открытых подмножеств, такой что композиция морфизмов фильтрованных колец, соответствующая двум вложениям, отличается от морфизма, соответствующего сквозному вложению, на внутренний автоморфизм, связанный с этим элементом. При этом для каждой цепочки из четырех вложенных открытых подмножеств должно выполняться "уравнение коцикла" для соответствующих обратимых элементов в нулевых компонентах фильтрации. С престэком фильтрованных колец связан его престэк ассоциированных градуированных колец. Будем называть строгим стэком фильтрованных колец на X престэк фильтрованных колец, такой что соответствующий престэк ассоциированных градуированных колец является стэком градуированнх колец. (Нестрогим) стэком фильтрованных колец на X называется престэк фильтрованных колец, такой что для любого покрытия одного открытого подмножества в X другими открытыми подмножествами фильтрованное кольцо, связанное с большим открытым подмножествам, восстанавливается по фильтрованным кольцам, связанным с открытыми подмножествами, образующими покрытие, и их парными пересечениями по правилу, похожему на обычную аксиому пучка. Престэком фильтрованных O X-квазиалгебр называется престэк фильтрованных колец на X, такой что его престэк ассоциированных градуированных колец снабжен структурой престэка градуированных O X-алгебр. Другими словами, для каждого открытого подмножества в X должно быть задано отображение в нулевую компоненту фильтрации соответствующего фильтрованного кольца из кольца регулярных функций на этом открытом подмножестве, образ которого попадает в центр присоединенного градуированного кольца. (Строгим или нестрогим) стэком фильтрованных O X-квазиалгебр называется престэк фильтрованных O X-квазиалгебр, являющийся (соответственно, строгим или нестрогим) стэком фильтрованных колец. Стэк фильтрованных O X-квазиалгебр P называется квазикогерентным, если выполнено одно из следующих трех эквивалентных условий: - для любых вложенных аффинных открытых подмножеств V ⊂ U в X, естественное отображение O(V) ⊗ O(U) P(U) → P(V) является изоморфизмом фильтрованных левых O(V)-модулей; - для любых вложенных аффинных открытых подмножеств V ⊂ U в X, естественное отображение P(U) ⊗ O(U) O(V) → P(V) является изоморфизмом фильтрованных правых O(V)-модулей; - для любых вложенных аффинных открытых подмножеств V ⊂ U в X, естественное отображение O(V) ⊗ O(U) gr FP(U) → gr FP(V) является изоморфизмом градуированных O(V)-алгебр. Аналоги утверждений про восстановление стэков градуированных колец и O X-алгебр по их ограничениям на базу открытых подмножеств в X и то, что аксиомы стека для покрытия аффинного открытого подмножества другими аффинными открытыми подмножествами вытекают из условия квазикогерентности, приведенных в конце постинга http://posic.livejournal.com/1009260.html , выполнены для нестрогих стэков фильтрованных колец и O X-квазиалгебр. | | 2:51p |
Относительная неоднородная кошулева двойственность (набросок) - 4 Далее в этой теории должны следовать определения: - престэка и стэка CDG-колец над X, престэка и стэка CDG-алгебр над O X, квазикогерентного стэка CDG-алгебр над O X; - предпучка градуированных модулей над престэком градуированных колец, пучка градуированных модулей над стэком градуированных колец, квазикогерентного пучка градуированных модулей над квазикогерентным стэком градуированных O X-алгебр; - предпучка модулей над престэком фильтрованных колец, пучка модулей над стэком фильтрованных колец, квазикогерентного пучка модулей над квазикогерентным стэком фильтрованных O X-квазиалгебр; - предпучка CDG-модулей над престэком CDG-колец, пучка CDG-модулей над стэком CDG-колец, квазикогерентного пучка CDG-модулей над квазикогерентным стэком CDG-алгебр над O X; - копредпучка градуированных модулей над престэком градуированных колец, копучка градуированных модулей над стэком градуированных колец, контрагерентного и локально контрагерентного копучка градуированных модулей над квазикогерентным стэком градуированных O X-алгебр; - копредпучка модулей над престэком фильтрованных колец, копучка модулей над стэком фильтрованных колец, контрагерентного и локально контрагерентного копучка модулей над квазикогерентным стэком фильтрованных O X-квазиалгебр; - копредпучка CDG-модулей над престэком CDG-колец, копучка CDG-модулей над стэком CDG-колец, контрагерентного и локально контрагерентного копучка CDG-модулей над квазикогерентным стэком CDG-алгебр над O X. Это еще не все, поскольку на самом деле нужны определения: - предпучка градуированных комодулей над престэком неотрицательно градуированных колец, пучка градуированных комодулей над стэком неотрицательно градуированных колец, квазикогерентного пучка градуированных комодулей над квазикогерентным стэком неотрицательно градуированных O X-алгебр, и - копредпучка градуированных контрамодулей над престэком неотрицательно градуированных колец, копучка градуированных контрамодулей над стэком неотрицательно градуированных колец, контрагерентного и локально контрагерентного копучка градуированных контрамодулей над квазикогерентным стэком неотрицательно градуированных O X-алгебр, вместе с соответствующими CDG-версиями. Теперь, в терминах этих определений, должны формулироваться глобальные (в смысле, неаффинные) версии (по возможности) всех результатов из начального постинга http://posic.livejournal.com/1009055.html . В роли тематических примеров к этой теории выступали бы, конечно, во-первых, скрученные дифференциальные операторы (в том числе, в векторных расслоениях ранга, большего единицы), и во вторых, обертывающие алгебры алгеброидов Ли. Дополнительные примеры (в частности, ситуаций, в которых проявляется разница между CDG-модулями и CDG-ко/контрамодулями) могут связаны с супералгеброидами Ли и т.п. | | 5:12p |
Относительная неоднородная кошулева двойственность: заключение Одно естественное направление обобщения намеченной в этой серии постингов теории -- это замена фильтрованной (квази)алгебры A~ на что-то вроде DG-алгебры или фильтрованной DG-алгебры. Если пользоваться, как мы здесь пользовались, контравариантной двойственностью на уровне алгебр (в противоположность модулям), то первая трудность, в которую уперлось бы такое обобщение -- это локальная (по градуировке/фильтрации) конечная порожденность и ее сохранение при тензорных операциях. Этой проблемы не возникает, если ограничиться, скажем, неположительно когомологически градуированными фильтрованными DG-кольцами. Кроме того, для того, чтобы такой теорией можно было пользоваться, она должна была бы, видимо, включать какой-то treatment квазиизоморфизмов между DG-(квази)алгебрами A~ и, может быть, слабых эквивалентностей между CDG-коалгебрами B. Дело это непростое даже в ситуации над полем, а в относительной ситуации я, кажется, вообще еще об этом не думал. Переход к ковариантной двойственности на уровне алгебр предполагал бы необходимость иметь дело с квазидифференциальными кокольцами вместо CDG-колец. Штуки это сильно контринтуитивные и работать с ними поэтому нелегко (в частности, хотя на первый взгляд может показаться, что они упрощали бы формулировку ко-контра соответствия в начальном постинге, но реализовать эти упрощения оказалось для меня в свое время непосильной задачей). Совсем другой вопрос -- что будет, если заменить кольцо на коалгебру над полем в роли базы наших относительных двойственностей. Тогда ситуация становится автоматически локальной (и даже в каком-то смысле инд-нульмерной), никаких пучков и стеков не возникает. В общем, это совсем другая теория; если писать статью по этим наброскам, случай базового кольца можно было бы рассмотреть в основном массиве текста, а про базовую коалгебру сделать приложение. Теория с базовой коалгеброй естественным образом целиком ковариантна, так что трудность, описанная в первом абзаце этого постинга, в ней не возникает. Может быть, там можно было бы иметь достаточного общего вида DG-полуалгебры с одной стороны и CDG-коалгебры с другой. Update: понятие, похожее на наши "квазикогерентные пучки модулей над квазикогерентным стэком O X-алгебр" появлялось в литературе под именем "скрученных пучков", twisted sheaves. См. диссертацию Андрея Сальдарару "Derived categories of twisted sheaves on Calabi-Yau manifolds" http://www.math.wisc.edu/~andreic/publications/ThesisSingleSpaced.pdf и препринт Макса Либлиха http://arxiv.org/abs/math/0411337 . Источником этих ссылок является изложение де Йонга ("A result of Gabber", http://www.math.columbia.edu/~dejong/papers/2-gabber.pdf ) важного результата Габбера о группах Брауэра схем (группа классов эквивалентности алгебр Адзумаи над квазипроективной схемой изоморфна подгруппе кручения во вторых этальных когомологиях с коэффициентами в Gm; для схем более общего вида было известно раньше, что первая является подгруппой второй). См. также неоконченное изложение Гунеласа (Frank Gounelas, Gabber’s theorem on Brauer groups of schemes, http://www.mathi.uni-heidelberg.de/~gounelas/projects/gabber-brauer.pdf ). По поводу скрученных пучков, см. также - Lieblich "On the ubiquity of twisted sheaves", http://www.cims.nyu.edu/~tschinke/books/simons12/lieblich.pdf- его же "Moduli of twisted sheaves and generalized Azumaya algebras" (диссертация), http://dspace.mit.edu/handle/1721.1/30145- J. Heinloth and S. Schroer, The bigger Brauer group and twisted sheaves, http://staff.science.uva.nl/~heinloth/brauer.pdf- (последняя) глава 19 "Stacks and Twisted Sheaves" в книге Кашивара-Шапира "Categories and Sheaves" и т.д. |
|