Новое определение производных категорий второго рода? Будем говорить, что абелева категория A с бесконечными произведениями (т.е., удовлетворяющая Ab3*) удовлетворяет Ab4.5*, если для любой проективной системы комплексов C
α над A, занумерованной элементами α вполне упорядоченного множества I, такой что для любого α ∈ I отображение C
α → lim
β<α C
β сюръективно, а ядро его является ацикличным комплексом, проективный предел lim
α∈I C
α тоже является ацикличным комплексом. Нетрудно убедиться, пользуясь индукцией по I, что достаточно проверять это условие для трехчленных комплексов (коротких точных последовательностей).
Легко видеть, что аксиома Ab4.5* сильнее Ab4* (точности бесконечных произведений), но слабее Ab5* (точности направленных проективных пределов). Категории абелевых групп/модулей над кольцом/диаграмм/функторов/аддитивных функторов в абелевы группы/в категории, удовлетворяющие Ab4.5*/... удовлетворяют Ab4.5*. Любая абелева категория с достаточным количеством проективных объектов удовлетворяет Ab4.5*. Соответственно, любая абелева категория с достаточным количеством инъективных объектов удовлетворяет двойственной аксиоме Ab4.5 (про индуктивные пределы).
Контрпример абелевой категории, удовлетворяющей Ab4*, но не Ab4.5*, предъявлялся в известной истории с "опровержением теоремы 61-го года в гомологической алгебре" (
http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs002220100197 ); потом выяснилось, что вопрос упирается в наличие множества образующих (
http://jlms.oxfordjournals.org/content/73/1/65.short ), но при этом речь шла только о проективных пределах последовательностей (индексированных натуральными числами). Следует ли Ab4.5* из Ab4* при наличии множества образующих, я не знаю.
(Продолжение следует.)