MGM-двойственность и ко-контра соответствие http://posic.livejournal.com/1073557.htmlВ простейшем виде, производное комодульно-контрамодульное соответствие -- это эквивалентность триангулированных категорий между копроизводной категорией левых комодулей и контрапроизводной категорией левых контрамодулей над одной и той же коалгеброй (или CDG-комодулей и CDG-контрамодулей над CDG-коалгеброй) над полем. В более сложных вариантах рассматриваются алгебраические структуры, соединяющие в себе черты ко/контрамодулей и обычных модулей -- "ко/контрамодули по части переменных и обычные модули вдоль остальных". В зависимости от того, каким образом происходит это "соединение" и какие экзотические производные категории рассматриваются, результаты типа производного ко-контра соответствия известны в следующих вариантах:
- для полумодулей и полуконтрамодулей над полуалгеброй ("алгеброй над коалгеброй") -- естественная эквивалентность полупроизводных ("ко/контрапроизводных вдоль переменных в коалгебре и обычных производных в дополнительном направлении) категорий
- для комодулей и контрамодулей над кокольцом ("коалгеброй над кольцом"), в случае базового кольца конечной гомологической размерности -- эквивалентность между ко- и контрапроизводными категориями
- для комодулей и контрамодулей над парой коколец над парой колец с дуализирующим комплексом, снабженным поднятием до комплекса бикомодулей -- эквивалентность между ко- и контрапроизводными категориями, зависящая от выбора дуализирующего комплекса
- для комодулей и контрамодулей над кокольцом конечной относительной гомологической размерности (в подходящем смысле) над своим базовым кольцом -- эквивалентность между обычными производными категориями
Из этих четырех вариантов, последний не рассматривался у меня пока что в сколько-нибудь общем виде (в отличие от первых трех). Единственный, кажется, прописанный пример -- это "наивное соответствие" между обычными производными категориями квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков на квазикомпактной полуотделимой схеме (а также на произвольной нетеровой схеме). Условия на топологию схемы нужны здесь, чтобы гарантировать искомую "конечность относительной гомологической размерности".
Характерным свойством такого "наивного ко-контра соответствия" можно считать то, что оно равно применимо более-менее ко всем разновидностям экзотических производных категорий, определенных для произвольной абелевой/точной категории и не зависящих от наличия бесконечных прямых сумм или произведений. Т.е., можно с равным успехом рассматривать обычные ограниченные или неограниченные с тех или иных сторон производные категории D
b, D
−, D
+, D, абсолютную производную категорию D
abs, ее ограниченные сверху или снизу версии, и т.п. (Только ко- и контрапроизводные категории здесь использовать нельзя.) Причина тому, конечно, в том, что производные функторы, осуществляющие соответствие, имеют конечную гомологическую размерность. В этом как бы проявляется "наивность" этих конструкций.
Похоже, что классическая MGM-двойственность является еще одним примером такого "наивного ко-контра соответствия". Первое, что здесь приходит в голову -- поскольку речь идет об аффинной формальной схеме -- это обобщить сформулированное выше наивное соответствие между квазикогерентными пучками и контрагерентными копучками на случай формальных схем. Но обсуждавшаяся выше теория тривиализуется в случае аффинной схемы (поскольку кокольцо там описывает склейку аффинных открытых подсхем в покрытии, а в случае покрытия из одной аффинной (открытой под)схемы оно совпадает со своим базовым кольцом).
На самом деле, правильный взгляд, видимо, следующий. Аффинная нетерова формальная схема, в этом контексте -- это дополнение до открытой подсхемы в спектре нетерова кольца. MGM-двойственность получается из сравнения двух наивных соответствий между пучками и копучками -- на аффинной нетеровой схеме (тривиального) и на ее открытой подсхеме (нетривиального, если эта открытая подсхема не аффинна).
(Окончание следует.)